Question

已知關于x的一元二次方程
（1）求證：不論m為何值，方程總有兩個不相等的實數根．
（2）若方程的兩個實數根為x₁和x₂，且滿足，求m的值．

Answer 1

（1）證明：∵一元二次方程為，
∴△=m²-8m+64=（m-4）²+48＞0，
∴不論m為何值，方程總有兩個不相等的實數根；

（2）解：∵方程的兩個實數根為x₁和x₂，
∴x₁+x₂=-，x₁x₂=，
∵6x₁²+mx₁+m+2x₂²-8=0，
∴x₁²+x₂²=2，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=2，
∴m²-4m=0，
解得m=0或4．
分析：（1）要證明方程有兩個不相等的實數根，即證明△＞0即可；
（2）根據方程的兩個實數根為x₁和x₂，寫出兩根之和和兩根之積，再把等式進行化簡，即可得到關于m的一元二次方程，解得m．
點評：本題主要考查了一元二次方程根與系數的關系和根的判別式的知識點，熟練掌握若x₁，x₂是方程x²+px+q=0的兩根時，x₁+x₂=-p，x₁x₂=q，方程總有兩個實數根，則一元二次方程根的判別式△＞0恒成立．