Question

如圖，已知△ABC是等邊三角形，D、E分別在邊BC、AC上，且CD=CE，連結(jié)DE并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使EF=AE，連結(jié)AF、BE和CF．
（1）請(qǐng)?jiān)趫D中找出一對(duì)全等三角形，并加以證明．
（2）判斷四邊形ABDF是怎樣的四邊形，并說(shuō)明理由．
（3）若∠ABE=40°，求∠CFE的度數(shù)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知條件可以判定△ABC、△DCE均為等邊三角形，由等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角相等、三條邊相等，利用全等三角形的判定定理SAS可以證得結(jié)論；
（2）四邊形ABDF是平行四邊形；利用（1）中的三個(gè)等邊三角形△ABC、△AEF、△DCE可以推知同位角∠CDE=∠ABC，內(nèi)錯(cuò)角∠CDE=∠EFA．所以利用平行的線的判定定理可以證得四邊形ABDF的對(duì)邊相互平行；
（3）利用全等三角形的性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)得出即可．

解答：（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴AC=BC=AB，∠ACB=60°；
又∵CD=CE，
∴△EDC是等邊三角形，
∴DE=CD=CE，∠DCE=∠EDC=60°，
∵EF=AE，
∴EF+DE=AE+CE，
∴FD=AC=BC，
在△BCE和△FDC中，

BC=FD ∠BCE=∠CDF CE=CD

，
∴△BCE≌△FDC（SAS）；

（2）解：四邊形ABDF是平行四邊形；
理由如下：
∵由（1）知△ABC、△AEF、△DCE均為等邊三角形，
∴∠CDE=∠ABC=∠EFA=60°，
∴AB∥FD，BD∥AF，
∴四邊形ABDF是平行四邊形；

（3）解：∵△BCE≌△FDC，
∴∠EBC=∠CFD，
∵∠ABC=60°，∠ABE=40°，
∴∠CBE=∠CFE=20°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)以及平行四邊形的判定．平行四邊形的判定定理：①對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；②兩組對(duì)邊相互平行的四邊形是平行四邊形；③對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形．