【題目】如圖1,BC是⊙O的直徑,點(diǎn)A在⊙O上,點(diǎn)D在CA的延長(zhǎng)線上,DE⊥BC,垂足為點(diǎn)E,DE與⊙O相交于點(diǎn)H,與AB相交于點(diǎn)l,過(guò)點(diǎn)A作⊙O的切線AF,與DE相交于點(diǎn)F.
(1)求證:∠DAF=∠ABO;
(2)當(dāng)AB=AD時(shí),求證:BC=2AF;
(3)如圖2,在(2)的條件下,延長(zhǎng)FA,BC相交于點(diǎn)G,若tan∠DAF=,EH=2,求線段CG的長(zhǎng).
【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)
【解析】
試題分析:(1)連接AO,如圖1,由OA=OB可得∠OAB=∠OBA,要證∠DAF=∠ABO,只需證∠DAF=∠BAO,只需證∠FAO=∠DAB=90°即可;
(2)由于BC=2OA,要證BC=2AF,只需證OA=AF,只需證△AFD≌△AOB即可;
(3)過(guò)點(diǎn)A作AN⊥BC于N,連接OH,OA,如圖2,易得BE=2IE,DE=2EC,DI=2AF=BC,從而可得EC=3IE=BE.設(shè)BE=2x,則有EC=3x,BC=5x,HO=BO=,EO=.在Rt△HEO中運(yùn)用勾股定理可求出x.利用三角函數(shù)可得BN=2AN=4NC,則有BC=5NC=10,從而可求出NC、ON,易證△AON∽△GOA,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出OG,從而可求出CG.
試題解析:(1)連接AO,如圖1.
∵AF與⊙O相切于點(diǎn)A,
∴OA⊥AF,即∠FAO=90°.
∵BC是⊙O的直徑,
∴∠BAC=90°,
∴∠DAB=90°,
∴∠FAO=∠DAB=90°,
∴∠DAF=∠BAO.
∵OA=OB,
∴∠OAB=∠OBA,
∴∠DAF=∠ABO;
(2)∵DE⊥BC,∴∠DEB=90°,
∴∠DIB=90°+∠ABO.
∵∠DIB=90°+∠D,
∴∠D=∠ABO.
在△AFD和△AOB中,
,
∴△AFD≌△AOB,
∴AF=AO,
∴BC=2OA=2AF;
(3)過(guò)點(diǎn)A作AN⊥BC于N,連接OH,OA,如圖2.
∵∠D=∠B=∠BAO=∠DAF,tan∠DAF=,
∴tanB=,tanD=,
∴BE=2IE,DE=2EC.
又∵∠DIA+∠D=∠DAF+∠FAI=90°,
∴∠FIA=∠FAI,
∴FI=FA,
∴DI=2AF=BC,
∴DE﹣IE=BE+EC,
∴2EC﹣IE=2IE+EC,
∴EC=3IE=BE.
設(shè)BE=2x,則有EC=3x,BC=5x,HO=BO=,EO=.
在Rt△HEO中,根據(jù)勾股定理可得
()2+(2)2=()2,
解得x=2(舍負(fù)).
∵AN⊥BC,∠BAC=90°,
∴∠NAC=∠ABC,
∴tan∠NAC=,tan∠ABC=,
∴BN=2AN=4NC,
∴BC=5NC=10,
∴NC=2,ON=5﹣2=3.
∵∠AON=∠GOA,∠ANO=∠OAG=90°,
∴△AON∽△GOA,
∴,
∴,
∴OG=,
∴CG=OG﹣OC=.
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