Question

20．如圖，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ACB的頂點A在△ECD的斜邊上，連接BD．
（1）試判斷△ACE與△BCD是否全等（不要求證明）；
（2）求∠ADB的度數(shù)；
（3）求證：AE²+AD²=2AC²．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得CE=CD，CA=CB，∠ECD=∠ACB，由此即可證明．
（2）由△ECA≌△DCA得∠EAC=∠CBD，因為∠EAC+∠CAD=180°，所以∠CAD+∠CBD=180°，由此可以證明∠ACB+∠ADB=180°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可以解決問題．
（3）由（1）可知AE=BD，在RT△ADB中利用勾股定理即可解決．

解答 （1）解：結(jié)論△ACE≌△BCD，
理由：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，
∴CE=CD，CA=CB，∠ECD=∠ACB=90°，
∴∠ECA=∠DCB，
在△ACE和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{CE=CD}\\{∠ECA=∠DCB}\\{AC=CB}\end{array}\right.$，
∴△ECA≌△DCA．
（2）解：∵△ACE≌△BCD，
∴∠EAC=∠CBD，
∵∠EAC+∠CAD=180°，
∴∠CAD+∠CBD=180°，
∴∠ACB+∠ADB=180°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ADB=90°，
∵∠E=∠EDC=45°，
∴∠BDC=45°．
（3）證明：∵△ACE≌△BCD，
∴BD=AE，
由（2）可知∠ADB=90°，
∴AD²+BD²=AB²，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴AB=$\sqrt{2}$AC，
∴AE²+AD²=2AC²．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)，尋找全等三角形是解題的關(guān)鍵，本題還用到四邊形內(nèi)角和定理，屬于中考常考題型．