Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，平行四邊形ABCD的邊BC在x軸上，D點(diǎn)在y軸上，C點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），BC=6，∠BCD=60°，點(diǎn)E是AB上一點(diǎn)，AE=3EB，⊙P過(guò)D，O，C三點(diǎn)，拋物線y=ax2+bx+c過(guò)點(diǎn)D，B，C三點(diǎn).

（1）求拋物線的解析式；

（2）求證：ED是⊙P的切線；

（3）若點(diǎn)M為此拋物線的頂點(diǎn)，平面上是否存在點(diǎn)N，使得以點(diǎn)B，D，M，N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2-x+2；（2）證明見(jiàn)解析；（3）存在，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-5，）、（3，）、（-3，-）．

【解析】

試題分析：（1）先確定B（-4，0），再在Rt△OCD中利用∠OCD的正切求出OD=2，D（0，2），然后利用交點(diǎn)式求拋物線的解析式；

（2）先計(jì)算出CD=2OC=4，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得AB=CD=4，AB∥CD，∠A=∠BCD=60°，AD=BC=6，則由AE=3BE得到AE=3，接著計(jì)算

，加上∠DAE=∠DCB，則可判定△AED∽△COD，得到∠ADE=∠CDO，而∠ADE+∠ODE=90°則∠CDO+∠ODE=90°，再利用圓周角定理得到CD為⊙P的直徑，于是根據(jù)切線的判定定理得到ED是⊙P的切線

（3）利用配方得到y(tǒng)=-（x+1）2+，則M（-1，），且B（-4，0），D（0，2），根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和點(diǎn)平移的規(guī)律，利用分類討論的方法確定N點(diǎn)坐標(biāo)．

試題解析：（1）∵C（2，0），BC=6，

∴B（-4，0），

在Rt△OCD中，∵tan∠OCD=，

∴OD=2tan60°=2，

∴D（0，2），

設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+4）（x-2），

把D（0，2）代入得a4（-2）=2，解得a=-，

∴拋物線的解析式為y=-（x+4）（x-2）=-x2-x+2；

（2）在Rt△OCD中，CD=2OC=4，

∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴AB=CD=4，AB∥CD，∠A=∠BCD=60°，AD=BC=6，

∵AE=3BE，

∴AE=3，

∴，，

∴，

而∠DAE=∠DCB，

∴△AED∽△COD，

∴∠ADE=∠CDO，

而∠ADE+∠ODE=90°

∴∠CDO+∠ODE=90°，

∴CD⊥DE，

∵∠DOC=90°，

∴CD為⊙P的直徑，

∴ED是⊙P的切線；

（3）存在．

∵y=-x2-x+2=-（x+1）2+

∴M（-1，），

而B(niǎo)（-4，0），D（0，2），

如圖2，

當(dāng)BM為平行四邊形BDMN的對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)D向左平移4個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位得到點(diǎn)B，則點(diǎn)M（-1，）向左平移4個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位得到點(diǎn)N1（-5，）；

當(dāng)DM為平行四邊形BDMN的對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)B向右平移3個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位得到點(diǎn)M，則點(diǎn)D（0，2）向右平移3個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位得到點(diǎn)N2（3，）；

當(dāng)BD為平行四邊形BDMN的對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)M向左平移3個(gè)單位，再向下平移個(gè)單位得到點(diǎn)B，則點(diǎn)D（0，2）向右平移3個(gè)單位，再向下平移個(gè)單位得到點(diǎn)N3（-3，-），

綜上所述，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-5，）、（3，）、（-3，-）．