Question

已知△ABC中，BC＞AB＞AC，∠ACB=40°，如果D、E是直線AB上的兩點(diǎn)，且AD=AC，BE=BC，求∠DCE的度數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：等腰三角形的性質(zhì),三角形內(nèi)角和定理,三角形的外角性質(zhì)

專題：分類討論

分析：分當(dāng)點(diǎn)D、E在點(diǎn)A的同側(cè)，且都在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)D、E在點(diǎn)A的同側(cè)，且點(diǎn)D在D’的位置，E在E’的為時(shí)，當(dāng)點(diǎn)D、E在點(diǎn)A的兩側(cè)，且E點(diǎn)在E’的位置時(shí)，當(dāng)點(diǎn)D、E在點(diǎn)A的兩側(cè)，且點(diǎn)D在D′的位置時(shí)幾種情況分類討論后利用等腰三角形的性質(zhì)即可求解．

解答：解：（1）當(dāng)點(diǎn)D、E在點(diǎn)A的同側(cè)，且都在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2，

∵BE=BC，∴∠BEC=（180°-∠ABC）÷2，
∵AD=AC，∴∠ADC=（180°-∠DAC）÷2=∠BAC÷2，
∵∠DCE=∠BEC-∠ADC，
∴∠DCE=（180°-∠ABC）÷2-∠BAC÷2=（180°-∠ABC-∠BAC）÷2
=∠ACB÷2=40°÷2=20°．
（2）當(dāng)點(diǎn)D、E在點(diǎn)A的同側(cè)，且點(diǎn)D在D’的位置，E在E′的為時(shí)，如圖3，
與（1）類似地也可以求得∠D'CE'=∠ACB÷2=20°．
（3）當(dāng)點(diǎn)D、E在點(diǎn)A的兩側(cè)，且E點(diǎn)在E’的位置時(shí)，如圖4，

∵BE′=BC，∴∠BE'C=（180°-∠CBE'）÷2=∠ABC÷2，
∵AD=AC，∴∠ADC=（180°-∠DAC）÷2=∠BAC÷2，
又∵∠DCE'=180°-（∠BE'C+∠ADC），
∴∠DCE'=180°-（∠ABC+∠BAC）÷2=180°-（180°-∠ACB）÷2
=90°+∠ACB÷2=90°+40°÷2=110°．
（4）當(dāng)點(diǎn)D、E在點(diǎn)A的兩側(cè)，且點(diǎn)D在D′的位置時(shí)，如圖5，
∵AD′=AC，
∴∠AD′C=（180°-∠D′AC）÷2=（180°-∠BAC）÷2，
∵BE=BC，
∴∠BEC=（180°-∠ABC）÷2，
∴∠D′CE=（180°-∠ACB）÷2=（180°-40°）÷2=70°，
故∠DCE的度數(shù)為20°或110°或70°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，難度較大．