【題目】如圖在直角坐標(biāo)平面內(nèi),拋物線與軸交于點(diǎn)A,與x軸分別交于點(diǎn)B(-1,0)、點(diǎn)C(3,0),點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn).
(1)求拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)連接AD、DC,求的面積;
(3)點(diǎn)P在直線DC上,聯(lián)結(jié)OP,若以O、P、C為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
【答案】(1)y=x2-2x-3,(1,-4)(2)3(3)
【解析】試題分析:
(1)把點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入所給解析式列出關(guān)于a、b的方程組,解方程組求得a、b的值即可得到所求所求解析式;
(2)由(1)中所得解析式可得求得點(diǎn)D的坐標(biāo),這樣由兩點(diǎn)間的距離公式可求得AC、CD、AD的長,結(jié)合勾股定理的逆定理可得△ACD是直角三角形,即可求得其面積了;
(3)如下圖,由已知先證△CAD∽△AOB,進(jìn)一步可證得∠BAC=∠BCD,結(jié)合△ABC是銳角三角形可知,若△OPC與它相似,則△OPC也是銳角三角形,則點(diǎn)P只能在第四象限,由點(diǎn)C、D的坐標(biāo)可求得直線CD的解析式為,由此可得設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0<t<3),過點(diǎn)P作PH⊥OC于點(diǎn)H,則OH=t,PH=6-2t,然后分①當(dāng)∠POC=∠ABC,時(shí),由tan∠POC=tan∠ABC得和②當(dāng)∠POC=∠ACB時(shí),由tan∠POC=tan∠ACB=tan45°=1得即可分別解得對應(yīng)的t的值,從而求得點(diǎn)P的坐標(biāo).
試題解析:
(1)點(diǎn)B(-1,0)、C(3,0)在拋物線上
∴,解得 ,
∴拋物線的表達(dá)式為,
∵,
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是(1,-4)
(2)如下圖,∵A(0,-3),C(3,0),D(1,-4),
∴AC=,CD=,AD=,
∴CD2=AC2+AD2,
∴∠CAD=90°,
∴S△ACD=AC·AD=3;
(3)如下圖,∵∠CAD=∠AOB=90°,,
∴△CAD∽△AOB,
∴∠ACD=∠OAB,
∵OA=OC,∠AOC=90°,
∴∠OAC=∠OCA=45°,
∴∠OAC+∠OAB=∠OCA+∠ACD,即∠BAC=∠BCD,
若以
則△POC也為銳角三角形,點(diǎn)P在第四象限,
由點(diǎn)C(3,0),D(1,-4)得直線CD的表達(dá)式是,設(shè)P(0<t<3),
過P作PH⊥OC,垂足為點(diǎn)H,則OH=t,PH=6-2t,
①當(dāng)∠POC=∠ABC時(shí),由tan∠POC=tan∠ABC得,
∴,解得,
∴P1;
②當(dāng)∠POC=∠ACB時(shí),由tan∠POC=tan∠ACB=tan45°=1得,
∴ ,解得,
∴P2,
綜上得P1或P2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在菱形ABCD中,AB=4,∠BAD=120°,△AEF為正三角形,E、F在菱形的邊BC,CD上.
(1)證明:BE=CF.
(2)當(dāng)點(diǎn)E,F(xiàn)分別在邊BC,CD上移動(dòng)時(shí)(△AEF保持為正三角形),請?zhí)骄克倪呅蜛ECF的面積是否發(fā)生變化?若不變,求出這個(gè)定值;如果變化,求出其最大值.
(3)在(2)的情況下,請?zhí)骄俊鰿EF的面積是否發(fā)生變化?若不變,求出這個(gè)定值;如果變化,求出其最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知線段,,請你用量角器和刻度尺按下列要求畫圖:
(1)以為頂點(diǎn),為一邊,在同側(cè)畫,與相交于點(diǎn);
(2)取線段的中點(diǎn),連接;
(3)用量角器得 ;
(4)用刻度尺測得線段 ,的長為 .(結(jié)果保留整數(shù)),圖中與線段相等的線段有 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,∠ACB=90°,D為AB上一點(diǎn),以CD為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)E,連接AE交CD于點(diǎn)P,交⊙O于點(diǎn)F,連接DF,∠CAE=∠ADF.
(1)判斷AB與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)若PF:PC=1:2,AF=5,求CP的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,如果點(diǎn)A,點(diǎn)C為某個(gè)菱形的一組對角的頂點(diǎn),且點(diǎn)A,C在直線y = x上,那么稱該菱形為點(diǎn)A,C的“極好菱形”. 下圖為點(diǎn)A,C的“極好菱形”的一個(gè)示意圖.
已知點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,1),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,3).
(1)點(diǎn)E(2,1),F(1,3),G(4,0)中,能夠成為點(diǎn)M,P的“極好菱形”的頂點(diǎn)的是 ;
(2)如果四邊形MNPQ是點(diǎn)M,P的“極好菱形”.
①當(dāng)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(3,1)時(shí),求四邊形MNPQ的面積;
②當(dāng)四邊形MNPQ的面積為8,且與直線y = x + b有公共點(diǎn)時(shí),寫出b的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】正方形ABCD,CEFG按如圖放置,點(diǎn)B,C,E在同一條直線上,點(diǎn)P在BC邊上,PA=PF,且∠APF=90°,連接AF交CD于點(diǎn)M,有下列結(jié)論:①EC=BP;②AP=AM;③∠BAP=∠GFP;④AB2+CE2=AF2;⑤S正方形ABCD+S正方形CEFG=2S△APF.其中正確的是( )
A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④⑤ D. ①③④⑤
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本題10分)某自行車廠一周計(jì)劃生產(chǎn)700輛自行車,平均每天生產(chǎn)自行車100輛,由于各種原因,實(shí)際每天生產(chǎn)量與計(jì)劃每天生產(chǎn)量相比有出入。下表是某周的自行車生產(chǎn)情況(超計(jì)劃生產(chǎn)量為正、不足計(jì)劃生產(chǎn)量為負(fù),單位:輛):
星期 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 | 六 | 日 |
增減 | +8 | -2 | -3 | +16 | -9 | +10 | -11 |
(1)根據(jù)記錄可知前三天共生產(chǎn)自行車 輛;
(2)產(chǎn)量最多的一天比產(chǎn)量最少的一天生產(chǎn) 輛;
(3)若該廠實(shí)行按生產(chǎn)的自行車數(shù)量的多少計(jì)工資,即計(jì)件工資制。如果每生產(chǎn)一輛自行車就可以得人民幣60 元,超額完多成任務(wù),每超一輛可多得 15 元;若不足計(jì)劃數(shù)的,每少生產(chǎn)一輛扣 15 元,那么該廠工人這一周的工資總額是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線與x軸,y軸分別交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)為直線上一點(diǎn),直線過點(diǎn)C.
求m和b的值;
直線與x軸交于點(diǎn)D,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D開始以每秒1個(gè)單位的速度向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.
①若點(diǎn)P在線段DA上,且的面積為10,求t的值;
②是否存在t的值,使為等腰三角形?若存在,直接寫出t的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,在中,,cm, cm,在中,,cm,cm.EF在BC上,保持不動(dòng),并將以1cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),移動(dòng)開始前點(diǎn)F與點(diǎn)B重合,當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí),停止移動(dòng).邊DE與AB相交于點(diǎn)G,連接FG,設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t(s).
(1)從移動(dòng)開始到停止,所用時(shí)間為________s;
(2)當(dāng)DE平分AB時(shí),求t的值;
(3)當(dāng)為等腰三角形時(shí),求t的值.
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