Question

已知二次函數(shù)y=x²﹣2mx+m²﹣1（m≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，0）．

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）該拋物線與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，求C，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）x軸上是否存在一點(diǎn)P，使得PC+PD最短？若P點(diǎn)存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若P點(diǎn)不存在，請說明理由．

Answer 1

【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．

【分析】（1）把點(diǎn)（1，0）代入y=x²﹣2mx+m²﹣1，解方程求出m的值即可；

（2）令x=0，得y=3，即可得出C點(diǎn)坐標(biāo)．將拋物線解析式配方成頂點(diǎn)式，即可得出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）由兩點(diǎn)之間線段最短知PC+PD≤CD，得出當(dāng)C，P，D三點(diǎn)共線時，PC+PD最短．由待定系數(shù)法求出直線CD的解析式，即可求出點(diǎn)P坐標(biāo)．

【解答】解：（1）把點(diǎn)（1，0）代入y=x²﹣2mx+m²﹣1，

得：1²﹣2m+m²﹣1=0，

解得：m=2，或m=0（不合題意，舍去），

∴m=2，

∴二次函數(shù)的解析式為y=x²﹣4x+3；

（2）令x=0，得y=3，

∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）．

將y=x²﹣4x+3配方得：y=（x﹣2）²﹣1，

∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣1）．

（3）存在；點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1.5，0）．理由如下：

由兩點(diǎn)之間線段最短知PC+PD≤CD，

∴當(dāng)C，P，D三點(diǎn)共線時，PC+PD最短．

設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b，

根據(jù)題意得：，

解得：k=﹣2，b=3，

直線CD的解析式為：y=﹣2x+3，

當(dāng)y=0時，x=1.5，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1.5，0）．

【點(diǎn)評】本題是二次函數(shù)綜合題目，考查了二次函數(shù)解析式的求法、一次函數(shù)解析式的求法、拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)、拋物線與y軸的交點(diǎn)、最短線段問題等知識；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，確定二次函數(shù)和一次函數(shù)解析式是解決問題的關(guān)鍵．