Question

如圖，AB為⊙O的直徑，半徑OC⊥AB，D為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)D作⊙O的切線，E為切點(diǎn)，連接CE交AB于點(diǎn)F．
（1）求證：DE=DF；
（2）連AE，若OF=1，BF=3，求DE長(zhǎng)．

Answer 1

解：（1）連接OE，
∵DE為圓的切線，
∴OE⊥ED，
∴∠OEC+∠CED=90°，
∵OC⊥AD，
∴∠COD=90°，
∴∠C+∠CFO=90°，
∵∠CFO=∠DFE，
∴∠C+∠DFE=90°，
∵OC=OE，
∴∠C=∠OEC，
∴∠DFE=∠DEF，
∴DE=DF；

（2）在Rt△OED中，OE=OB=OF+FB=1+3=4，
根據(jù)勾股定理得：OD²=OE²+ED²，即（1+DF）²=（1+DE）²=4²+DE²，
解得：DE=7.5．
分析：（1）連接OE，由DE為圓的切線，得到OE垂直于ED，得到一對(duì)角互余，再由CO垂直于AD，得到一對(duì)角互余，再由等邊對(duì)等角及對(duì)頂角相等得到∠DFE=∠DEF，利用等角對(duì)等邊即可得證；
（2）由OF+FB求出OB的長(zhǎng)，即為OE的長(zhǎng)，根據(jù)DE=DF，在直角三角形OED中，利用勾股定理即可求出DE的長(zhǎng)．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．