Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A是雙曲線y=

3

x

上的一點(diǎn)，且橫坐標(biāo)為3，直線y=-2x+b與x軸，y軸分別交于點(diǎn)Q、P．
（1）當(dāng)b=3時(shí)，求△APQ的面積；
（2）當(dāng)b為何值時(shí)，△APQ為直角三角形；
（3）將△APQ繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)180°得到△AP′Q′，問是否存在b，使線段P′Q′與雙曲線有交點(diǎn)？若存在，求出所有滿足要求的b的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）作AB⊥x軸于點(diǎn)B，求得A、B、P、Q的坐標(biāo)，依據(jù)S_△APQ=S_梯形ABOP-S_△ABQ-S_△OPQ即可求解；
（2）分∠APQ=90°或∠AQP=90°或∠PAQ=90°三種情況進(jìn)行討論，依據(jù)兩直線垂直的條件即可求解；
（3）Q關(guān)于A的對(duì)稱點(diǎn)一定在反比例函數(shù)的上邊，若線段P′Q′與雙曲線有交點(diǎn)，則P'一定在反比例函數(shù)或函數(shù)的下邊，據(jù)此即可求得b的范圍．

解答：解：（1）作AB⊥x軸于點(diǎn)B．
在反比例函數(shù)y=

3

x

中，令x=3，解得：y=1，則A的坐標(biāo)是（3，1）；
當(dāng)b=3時(shí)，在直線y=-2x+3中，令x=0，解得：y=3，則P的坐標(biāo)是（0，3）；
令y=0，解得：x=

3

2

，則Q的坐標(biāo)是（

3

2

，0）．
則AB=1，OB=3，OP=3，
則S_梯形ABOP=

1

2

（AB+OP）•OB=

1

2

（1+3）×3=6，
S_△ABQ=

1

2

QB•AB=

1

2

×

3

2

×1=

3

4

，
則S_△OPQ=

1

2

OQ•OP=

1

2

×

3

2

×3=

9

4

，
則S_△APQ=S_梯形ABOP-S_△ABQ-S_△OPQ=6-

3

4

-

9

4

=3；

（2）當(dāng)∠APQ=90°時(shí)，設(shè)直線AP的解析式是y=

1

2

x+b，把A的坐標(biāo)代入得：

3

2

+b=1，解得：b=-

1

2

，
則直線AP的解析式是：y=

1

2

x-

1

2

，令x=0，解得：y=-

1

2

，則b=-

1

2

；
當(dāng)∠AQP=90°時(shí)，同理，可得直線AQ的解析式是：y=

1

2

x-

1

2

，令y=0，解得x=1，則Q的坐標(biāo)是（1，0），代入y=-2x+b，得b=2；
當(dāng)∠PAQ=90°時(shí)，P的坐標(biāo)是（0，b），Q的坐標(biāo)是（

b

2

，0），則

1-b

3

•

2

3- b 2

=-1，解得：b=4；
（3）設(shè)P'的坐標(biāo)是（x，y），則

x

2

=3，

y+b

2

=1，
解得：x=6，y=2-b，
則P'的坐標(biāo)是（6，2-b）．
線段P′Q′與雙曲線有交點(diǎn)則：

3

6

≥2-b，
解得：b≥

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題是一次函數(shù)，反比例函數(shù)以及直角三角形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，正確理解直線垂直的條件，理解線段P′Q′與雙曲線有交點(diǎn)的條件是關(guān)鍵．