Question

14．兩塊全等的矩形紙片ABCD和EFGH按圖1所示放置在圓的內(nèi)部，頂點(diǎn)A和G在圓上，邊BC和EH在直徑PQ上．
（1）判斷：圖1是不是中心對(duì)稱圖形？如果是，請(qǐng)畫出它的對(duì)稱中心；
（2）連接AG，求證：AG是圓的直徑．
（3）在圖1中紙片ABCD的右側(cè)再拼接一塊相同的紙片CDMN，如圖2所示，如果AB=3，AD=$\frac{41}{8}$，BE=$\frac{23}{8}$
求證：GN是圓的切線．

Answer 1

分析 （1）由圓的對(duì)稱性可知，兩塊全等矩形按圖1所示放置，該圖形是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線段的交點(diǎn)，即為圓心；
（2）由中心對(duì)稱的性質(zhì)可知：A與G是對(duì)稱點(diǎn)，所以AG必過(guò)對(duì)稱中心，即AG過(guò)圓心，所以AG是圓的直徑；
（3）利用AB、AD與BE的長(zhǎng)度和對(duì)稱性，分別求出OH、HG、HN的長(zhǎng)度，由于HG²=OH•HN，所以易證△OHG∽△GHN，利用對(duì)應(yīng)角相等，即可求得∠OGN=90°．

解答 解：（1）由題意知，該圖形是中心對(duì)稱圖形，
對(duì)稱中心為圓心，如圖1所示；

（2）由中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)可知，點(diǎn)A與G是對(duì)稱點(diǎn)，
∴AG必定過(guò)對(duì)稱中心，
∴AG過(guò)圓心，
∴AG是圓的直徑；

（3）設(shè)圓心為O，連接OG，
由對(duì)稱性可知：BE=CH=$\frac{23}{8}$，
∵AD=BC，
∴EC=BC-BE=$\frac{9}{4}$，
∴由對(duì)稱性可知：OC=$\frac{1}{2}$EC=$\frac{9}{8}$，
∴OH=OC+CH=4，
HN=CN-CH=$\frac{9}{4}$，
∴矩形ABCD與矩形EHGF全等，
∴HG=AB=3，
∴HG²=OH•HN，
∵∠OHG=∠NHM，
∴△OHG∽△GHN，
∴∠HOG=∠HGN，
∴∠EGH+∠HGN=∠EGH+∠HOG=90°，
∴∠OGN=90°，
∴GN是圓O的切線．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的綜合問(wèn)題，涉及中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)，切線判定，相似三角形判定與性質(zhì)，內(nèi)容較為綜合，需要學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行解答．