Question

14．兩塊全等的矩形紙片ABCD和EFGH按圖1所示放置在圓的內(nèi)部，頂點A和G在圓上，邊BC和EH在直徑PQ上．
（1）判斷：圖1是不是中心對稱圖形？如果是，請畫出它的對稱中心；
（2）連接AG，求證：AG是圓的直徑．
（3）在圖1中紙片ABCD的右側(cè)再拼接一塊相同的紙片CDMN，如圖2所示，如果AB=3，AD=$\frac{41}{8}$，BE=$\frac{23}{8}$
求證：GN是圓的切線．

Answer 1

分析 （1）由圓的對稱性可知，兩塊全等矩形按圖1所示放置，該圖形是中心對稱圖形，對稱中心是對應(yīng)點連線段的交點，即為圓心；
（2）由中心對稱的性質(zhì)可知：A與G是對稱點，所以AG必過對稱中心，即AG過圓心，所以AG是圓的直徑；
（3）利用AB、AD與BE的長度和對稱性，分別求出OH、HG、HN的長度，由于HG²=OH•HN，所以易證△OHG∽△GHN，利用對應(yīng)角相等，即可求得∠OGN=90°．

解答 解：（1）由題意知，該圖形是中心對稱圖形，
對稱中心為圓心，如圖1所示；

（2）由中心對稱圖形的性質(zhì)可知，點A與G是對稱點，
∴AG必定過對稱中心，
∴AG過圓心，
∴AG是圓的直徑；

（3）設(shè)圓心為O，連接OG，
由對稱性可知：BE=CH=$\frac{23}{8}$，
∵AD=BC，
∴EC=BC-BE=$\frac{9}{4}$，
∴由對稱性可知：OC=$\frac{1}{2}$EC=$\frac{9}{8}$，
∴OH=OC+CH=4，
HN=CN-CH=$\frac{9}{4}$，
∴矩形ABCD與矩形EHGF全等，
∴HG=AB=3，
∴HG²=OH•HN，
∵∠OHG=∠NHM，
∴△OHG∽△GHN，
∴∠HOG=∠HGN，
∴∠EGH+∠HGN=∠EGH+∠HOG=90°，
∴∠OGN=90°，
∴GN是圓O的切線．

點評 本題考查圓的綜合問題，涉及中心對稱圖形的性質(zhì)，切線判定，相似三角形判定與性質(zhì)，內(nèi)容較為綜合，需要學(xué)生靈活運用所學(xué)知識進行解答．