【題目】綜合題

(1)問題
如圖1,點(diǎn)A為線段BC外一動點(diǎn),且BC=a,AB=b.
填空:當(dāng)點(diǎn)A位于時,線段AC的長取得最大值,且最大值為(用含a,b的式子表示)
(2)應(yīng)用
點(diǎn)A為線段BC外一動點(diǎn),且BC=3,AB=1,如圖2所示,分別以AB,AC為邊,作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE,連接CD,BE.
①請找出圖中與BE相等的線段,并說明理由;
②直接寫出線段BE長的最大值.
(3)拓展:如圖3,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5,0),點(diǎn)P為線段AB外一動點(diǎn),且PA=2,PM=PB,∠BPM=90,請直接寫出線段AM長的最大值及此時點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】
(1)CB的延長線上,a+b
(2)解:①CD=BE,

理由:∵△ABD與△ACE是等邊三角形,

∴AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°,

∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,

即∠CAD=∠EAB,

在△CAD與△EAB中,

∴△CAD≌△EAB(SAS),

∴CD=BE;

②∵線段BE長的最大值=線段CD的最大值,

∴由(1)知,當(dāng)線段CD的長取得最大值時,點(diǎn)D在CB的延長線上,

∴最大值為BD+BC=AB+BC=4


(3)解:如圖1,連接BM,

∵將△APM繞著點(diǎn)P順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△PBN,連接AN,則△APN是等腰直角三角形,

∴PN=PA=2,BN=AM,

∵A的坐標(biāo)為(2,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5,0),

∴OA=2,OB=5,

∴AB=3,

∴線段AM長的最大值=線段BN長的最大值,

∴當(dāng)N在線段BA的延長線時,線段BN取得最大值,

最大值=AB+AN,

∵AN= AP=2 ,

∴最大值為2 +3;

如圖2,過P作PE⊥x軸于E,

∵△APN是等腰直角三角形,

∴PE=AE= ,

∴OE=BO﹣AB﹣AE=5﹣3﹣ =2﹣ ,

∴P(2﹣ ,


【解析】解:(1)∵點(diǎn)A為線段BC外一動點(diǎn),且BC=a,AB=b,

∴當(dāng)點(diǎn)A位于CB的延長線上時,線段AC的長取得最大值,且最大值為BC+AB=a+b,

故答案為:CB的延長線上,a+b;

(1)根據(jù)點(diǎn)A位于CB的延長線上時,線段AC的長取得最大值,即可得到結(jié)論。
(2)①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°,推出△CAD≌△EAB,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CD=BE;
②由于線段BE長的最大值=線段CD的最大值,根據(jù)(1)中的結(jié)論即可得到結(jié)果。
(3)連接BM,將△APM繞著點(diǎn)P順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△PBN,連接AN,得到△APN是等腰直角三角形,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得PN=PA,BN=AM,根據(jù)當(dāng)N在線段BA的延長線時,線段BN取得最大值,即可得到最大值;過P作PE⊥x軸于E,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì),即可得到結(jié)論。

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