Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)M為邊AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線交AB于點(diǎn)E，連接ME，已知AM＝2AE＝4，∠BCE＝30°．

（1）求平行四邊形ABCD的面積S；

（2）求證：∠EMC＝2∠AEM．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）證明見(jiàn)解析.

【解析】

(1)由AM＝2AE＝4，利用平行四邊形的性質(zhì)可求出BC=AD=8，利用直角三角形的性質(zhì)得出BE、CE的長(zhǎng),進(jìn)而得出答案;

(2) 延長(zhǎng)EM，CD交于點(diǎn)N，連接CM．通過(guò)證明△AEM≌△DNM，可得EM＝MN，然后由直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半可證MN＝MC，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)證明即可.

（1）解：∵M為AD的中點(diǎn)，AM＝2AE＝4，

∴AD＝2AM＝8．在ABCD的面積中，BC＝CD＝8，

又∵CE⊥AB，

∴∠BEC＝90°，

∵∠BCE＝30°，

∴BE＝BC＝4，

∴AB＝6，CE＝4，

∴ABCD的面積為：AB×CE＝6×4＝24；

（2）證明：延長(zhǎng)EM，CD交于點(diǎn)N，連接CM．

∵在ABCD中，AB∥CD，

∴∠AEM＝∠N，

在△AEM和△DNM中

∵∠AEM=∠N，

AM=DM，

∠AME=∠DMN，

∴△AEM≌△DNM（ASA），

∴EM＝MN，

又∵AB∥CD，CE⊥AB，

∴CE⊥CD，

∴CM是Rt△ECN斜邊的中線，

∴MN＝MC，

∴∠N＝∠MCN，

∴∠EMC＝2∠N＝2∠AEM．