Question

在平面直角坐標(biāo)系中，第1個(gè)正方形ABCD的位置如圖所示，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，2）．延長CB交x軸于點(diǎn)A₁，作第2個(gè)正方形A₁B₁C₁C；延長C₁B₁交x軸于點(diǎn)A₂，作第3個(gè)正方形A₂B₂C₂C₁…按這樣的規(guī)律進(jìn)行下去，第2個(gè)正方形的面積為

45

4

；第2011個(gè)正方形的面積為

5×(

3

2

)4020

．

Answer 1

分析：推出AD=AB，∠DAB=∠ABC=∠ABA₁=90°=∠DOA，求出∠ADO=∠BAA₁，證△DOA∽△ABA₁，得出

BA1

AB

=

OA

OD

=

1

2

，求出AB，BA₁，求出邊長A₁C=

3

2

5

，求出面積即可；求出第3個(gè)正方形的邊長是(

3

2

)2

5

，面積(

9

4

5

)2；第4個(gè)正方形的面積是[(

3

2

)2]2×(

5

)2；依此類推得出第2011個(gè)正方形的邊長是(

3

2

)2011-1

5

，面積是[(

3

2

)2010]2×(

5

)2，即可得出答案．

解答：解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=∠ABC=∠ABA₁=90°=∠DOA，
∴∠ADO+∠DAO=90°，∠DAO+∠BAA₁=90°，
∴∠ADO=∠BAA₁，
∵∠DOA=∠ABA₁，
∴△DOA∽△ABA₁，
∴

BA1

AB

=

OA

OD

=

1

2

，
∵AB=AD=

22+12

=

5

，
∴BA₁=

1

2

5

，
∴第2個(gè)正方形A₁B₁C₁C的邊長A₁C=A₁B+BC=

3

2

5

，面積是(

3

2

5

)2=(

3

2

)2×(

5

)2=

9

4

×5=

45

4

；
同理第3個(gè)正方形的邊長是

3

2

5

+

3

4

5

=

9

4

5

=(

3

2

)2

5

，面積是：(

9

4

5

)2=

405

16

；
第4個(gè)正方形的邊長是(

3

2

)3

5

，面積是[(

3

2

)³]²×(

5

)2；
…
第2011個(gè)正方形的邊長是(

3

2

)2011-1

5

，面積是[(

3

2

)2010]2×(

5

)2=5×(

3

2

)4020．
故答案為：

45

4

，5×(

3

2

)4020．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是根據(jù)計(jì)算的結(jié)果得出規(guī)律，題目比較好，但是一道比較容易出錯(cuò)的題目．