Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c的頂點是（-1，-4），且與x軸交于A、B（1，0）兩點，交y軸于點C；
（1）求此拋物線的解析式；
（2）①當(dāng)x的取值范圍滿足條件______時，y＜-3；
　　 ②若D（m，y₁），E（2，y₂）是拋物線上兩點，且y₁＞y₂，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）直線x=t平行于y軸，分別交線段AC于點M、交拋物線于點N，求線段MN的長度的最大值；
（4）若以拋物線上的點P為圓心作圓與x軸相切時，正好也與y軸相切，求點P的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）設(shè)函數(shù)解析式為y=a（x+1）²-4，
將點B（1，0）代入解析式得，
a（1+1）²-4=0，
解得a=1，
故函數(shù)解析式為y=（x+1）²-4，
化為一般式得y=x²+2x-3．
（2）①函數(shù)與y軸的交點為（0，-3），
如圖1，過點C作直線平行于x軸，與拋物線相交于另一點E，
令y=-3可得方程x²+2x-3=-3，
解得x₁=0，x₂=-2．
則D點坐標(biāo)為（-2，0）．
由圖可知y＜-3時，-2＜x＜0；
故答案為-2＜x＜0．
②如圖1，當(dāng)x=2時，y₂=4+4-3=5；故E點坐標(biāo)為（2，5），
令y=5，得x²+2x-3=5，解得x₁=2，x₂=-4．F點坐標(biāo)為（-4，0）．
由圖可知，y₁＞y₂時，m＜-4或m＞2．
（3）如圖2，令y=0可得方程x²+2x-3=0，
有（x-1）（x+3）=0，
解得x₁=1，x₂=-3．
則A點坐標(biāo)為（-3，0）．
設(shè)一次函數(shù)AC解析式為y=kx+b，
將A（-3，0），C（0，-3）代入解析式得，，
解得，
故函數(shù)解析式為y=-x-3．
當(dāng)x=t時，MN=（-t-3）-（t²+2t-3）=-t²-3t=-（t+）²+（-3≤t≤0），
當(dāng)t=-時，MN取得最大值．
（4）根據(jù)題意得①x=x²+2x-3，解得x₁=，x₂=，
將x₁=，x₂=，分別代入解析式得y₁=，y₂=，
故P點坐標(biāo)為（，），（，）．
②-x=x²+2x-3，解得x₁=，x₂=，分別代入解析式得，y₁=；y₂=．故P點坐標(biāo)為（，），（，）．
分析：（1）根據(jù)已知函數(shù)的頂點，設(shè)出函數(shù)的頂點式，再將點B代入解析式求出a的值即可；
（2）①過點C作直線平行于x軸，與拋物線相交于另一點E，令y=0可得方程x²+2x-3=-3，據(jù)此求出D點坐標(biāo)，從而得到x的取值范圍；
②令y=5，求出F點和E點的橫坐標(biāo)，據(jù)此即可直接求出x的取值范圍．
（3）容易求出A點坐標(biāo)，再根據(jù)A點坐標(biāo)求出AC的解析式，MN的長度可用兩解析式的差來表示，該差為二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)最值的求法即可解答；
（4）根據(jù)題意可知，該圓同時與x軸、y軸相切時，圓心橫縱坐標(biāo)相同或互為相反數(shù)，據(jù)此列出方程解答．
點評：本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、存在性問題、二次函數(shù)求最值等知識，難度較大．