Question

    已知：△ABD和△CBD關于直線BD對稱(點A的對稱點是點C)，點E、F分別是線段BC

  和線段BD上的點，且點F在線段EC的垂直平分線上，連接AF、AE，AE交BD于點G．

    (1)如圖l，求證：∠EAF=∠ABD；

    (2)如圖2，當AB=AD時，M是線段AG上一點，連接BM、ED、MF，MF的延長線交ED于點N，∠MBF= ∠BAF，AF=AD，試探究線段FM和FN之間的數(shù)量關系，并證明你的結論．

Answer 1

考點：本題考查了三角形全等的判斷和性質，相似三角形的判斷和性質，平行線分線段成比例定理，軸對稱性質，三角形四邊形內角和，線段的垂直平分線性質

要求較高的視圖能力和證明推理能力。

分析：（1）連接FE、FC，先證△ABF、△CBF全等，得∠FEC=∠BAF，通過四邊形ABEF與三角形AEF內角和導出；（2）先由△AFG∽△BFA，推出∠AGF=∠BAF，再得BG=MG，通過△AGF∽△DGA，導出GD=a，F(xiàn)D=a，過點F作FQ∥ED交AE于Q，通過BE∥AD德線段成比例設EG=2kBG=MG=3k，GQ=EG=，MQ=3k+=，從而FM=FN本題綜合考查了相似三角形線段之間的比例關系、平行線分線段成比例定理等重要知識點，難度較大．在解題過程中，涉及到數(shù)目較多的線段比，注意不要出錯

解答：(1)證明：如圖1  連接FE、FC  ∵點F在線段EC的垂直平分線上

    ∴．FE=FC    ∴∠l=∠2   ∵△ABD和△CBD關于直線BD對稱．∴AB=CB ∠4=∠3    BF=BF

    ∴△ABF≌ACBF  ∴∠BAF=∠2    FA=FC  ∴FE=FA    ∠1=∠BAF．  ∴∠5=∠6  ∵ ∠l+∠BEF=180⁰∠BAF+∠BEF=180⁰

   ∵∠BAF+∠BEF+∠AFE+∠ABE=360⁰    ∴．∠AFE+∠ABE=180⁰    又∵∠AFE+∠5+∠6=180⁰    ∴∠5+∠6=∠3+∠4    ∴∠5=∠4

即∠EAF=∠ABD

(2)FM=FN     證明：如圖2  由(1)可知∠EAF=∠ABD

  又∵∠AFB=∠GFA  ∴△AFG∽△BFA

  ∴∠AGF=∠BAF

     又∵∠MBF=∠BAF．∠MBF=∠AGF

 

  又∵∠AGF=∠MBG+∠BMG

 ∴∠MBG=∠BMG   ∴BG=MG

∵AB=AD  ∴∠ADB=∠ABD=∠EAF

又∵∠FGA=∠AGD．∴△AGF∽△DGA．∵AF=AD

設GF=2a AG=3a．∴GD=a

∴FD==a∵∠CBD=∠ABD ∠ABD=∠ADB

∴．∠CBD=∠ADB∴BE／／AD．∴

設EG=2k∴BG=MG=3k  過點F作FQ∥ED交AE于Q

∴

∴GQ=EG=． MQ=3k+=

∵FQ∥ED∴FM=FN