Question

如圖，等腰△ABC外一點D，連接DA，DB，DC，且∠ADC=30°．BD=15，AD=12，則CD的長為

 

．

Answer 1

考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),勾股定理

專題：計算題

分析：先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得AB=AC，∠BAC=60°，則可把△ADC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AEB，連接DE，如圖，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AE=AD=12，BE=CD，∠EAD=60°，∠AEB=∠ADC=30°，于是可判斷△AED為等邊三角形，所以DE=AD=12，∠AED=60°，則∠AED=∠AEB+∠AED=90°，然后在Rt△BED中，根據(jù)勾股定理可計算出BE=9，于是有CD=9．

解答：解：∵△ABC為等邊三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∴把△ADC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AEB，連接DE，如圖，
∴AE=AD=12，BE=CD，∠EAD=60°，∠AEB=∠ADC=30°，
∴△AED為等邊三角形，
∴DE=AD=12，∠AED=60°，
∴∠AED=∠AEB+∠AED=90°，
在Rt△BED中，BD=15，DE=12，
∴BE=

BD2-DE2

=9，
∴CD=9．
故答案為9．

點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了勾股定理和等邊直角三角形的性質(zhì)．