Question

9．將兩塊全等的含30°角的直角三角扳按圖I的方式放置，已知∠BAC=∠B₁A₁C=30°，AB=2BC．固定三角板A₁B₁C，然后將三角板ABC繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)（如圖2所示），AB與A₁C、A₁B₁分別交于點D、E，AC與A₁B₁交于點F．給出下列結(jié)論：
①當(dāng)旋轉(zhuǎn)角等于20°時，∠BCB₁=l60°；
②當(dāng)旋轉(zhuǎn)角等于30°時，AB與A₁B₁垂直；
③當(dāng)旋轉(zhuǎn)角等于45°時，AB∥CB₁；
④當(dāng)AB∥CB₁時，點D為A₁C的中點．
其中正確的是①②④ （寫出所有正確結(jié)論的序號）．

Answer 1

分析 求出∠BCB₁+A₁CA=180°，求出∠A₁CA和∠BCB₁，再判斷①②③即可；根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補求出∠ADC=90°，再根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可得CD=$\frac{1}{2}$AC，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得A₁C=AC，然后求出解，即可判斷④．

解答 解：①∵∠ACB=∠A₁CB₁=90°，
∴∠BCB₁+A₁CA=∠ACB+∠ACB₁+∠A₁CA=∠ACB+∠A₁CB₁=90°+90°=180°，
∵旋轉(zhuǎn)角等于20°，
∴∠A₁CB=90°-20°=70°，
∴∠A₁CA=90°-70°=20°，
∴∠BCB₁=180°-∠A₁CA=160°，∴①正確；

②∵兩塊全等的含30°角的直角三角扳按圖I的方式放置，
∴∠B=∠B₁=60°，
∵旋轉(zhuǎn)角等于30°，
∴∠A₁CB=90°-30°=60°，
∴∠A₁CA=90°-60°=30°，
∴∠BCB₁=180°-∠A₁CA=150°，
∴∠BEB₁=360°-60°-60°-150°=90°，
∴AB與A₁B₁垂直，∴②正確；

③∵旋轉(zhuǎn)角等于45°，
∴∠A₁CB=90°-45°=45°，
∴∠A₁CA=90°-45°=45°，
∴∠BCB₁=180°-∠A₁CA=145°，
∴∠BEB₁+∠B=145°+60°=205°≠180°，

∴AB和CB₁不平行，∴③錯誤；

④∵AB∥CB₁，
∴∠ADC=180°-∠A₁CB₁=180°-90°=90°，
∵∠BAC=30°，
∴CD=$\frac{1}{2}$AC，
又∵由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，A₁C=AC，
∴A₁D=CD，∴④正確；
故答案為：①②④．

點評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．