Question

如圖1，點O是線段AD的中點，分別以AO，DO為邊在AD的同側(cè)作等邊△AOB和等邊△DOC，AC與BD相交于點E．
（1）根據(jù)題意，結(jié)合圖寫出以下結(jié)論：
①∠AOC與∠BOD的大小關(guān)系是

 

．
②線段AC與BD的大小關(guān)系是

 

．
③∠AEB=

 

度．
（2）△OAB固定不動，保持△DOC的形狀和大小不變，將△DOC繞著點O旋轉(zhuǎn)，如圖2，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？試證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）通過全等三角形△AOC≌△BOD的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等來求①∠AOC與∠BOD的大小關(guān)系、②線段AC與BD的大小關(guān)系．在△BEA中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出③∠AEB的大�。�
（2）求出OC=OD，OA=OB，∠DOB=∠COA，證△DOB≌△COA，推出∠DBO=∠CAO，在△BEA中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可．

解答：（1）解：∵△DCO和△ABO是等邊三角形，
∴OC=OD，OB=OA，∠OBA=∠OAB=60°，∠COD=∠BOA=60°，
∴∠COD+∠COB=∠BOA+∠COB，
∴∠DOB=∠COA，
在△DOB和△COA中

OD=OC ∠DOB=∠COA OB=OA

，
∴△DOB≌△COA（SAS），
∴∠AOC=∠BOD，AC=BD，∠DBO=∠CAO，
∵∠OBA=∠OAB=60°
∴∠AEB=180°-（∠EBO+∠OBA+∠BAO）
=180°-（∠CAO+∠OBA+∠BAO）
=180°-（60°+60°）=60°；
故答案分別是：①相等；②相等；③60；

（2）解：（1）中的結(jié)論仍然成立．理由如下：與（1）證明過程類似，
∵△DCO和△ABO是等邊三角形，
∴OC=OD，OB=OA，∠OBA=∠OAB=60°，∠COD=∠BOA=60°，
∴∠COD+∠COB=∠BOA+∠COB，
∴∠DOB=∠COA，
在△DOB和△COA中

OD=OC ∠DOB=∠COA OB=OA

，
∴△DOB≌△COA（SAS），
∴∠DBO=∠CAO，
∵∠OBA=∠OAB=60°
∴∠AEB=180°-（∠EBO+∠OBA+∠BAE）
=180°-（∠CAO+∠OBA+∠BAE）
=180°-（60°+60°）=60°．

點評：本題考查了等邊三角形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出∠DBO=∠CAO．題目比較好，證明過程類似．