Question

如圖，在?ABCD中，點G，H分別是AD與BC的中點，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為點E，F(xiàn)．
（1）求證：AE=CF；
（2）求證：四邊形GEHF是平行四邊形．

Answer 1

考點：平行四邊形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）通過證△AED≌△CFB（AAS）得到AE=CF；
（2）利用直角三角形的斜邊上的中線等于斜邊的一半以及等腰三角形的性質(zhì)推知：EG=FH，EG∥FH．

解答：證明：（1）如圖，在?ABCD中，AD=CB，AD∥BC，
∴∠ADE=∠CBD．
又 AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED=∠CFB=90°，
∴在△AED與△CFB中，

∠AED=∠CFB=90° ∠ADE=∠CBD AD=CB

，
∴△AED≌△CFB（AAS），
∴AE=CF；

（2）如圖，在?ABCD中，AD=CB．
∵點G，H分別是AD與BC的中點，AE⊥BD，CF⊥BD，
∴EG=

1

2

AD=GD，F(xiàn)H=

1

2

BC=BH．
∴EG=FH，∠GED=∠GDE，∠HFB=∠HBF．
又∠ADE=∠CBD．
∴∠GED=∠HFB，
∴EG∥FH．
∴四邊形GEHF是平行四邊形．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)．平行四邊形的判定方法共有五種，應(yīng)用時要認真領(lǐng)會它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，同時要根據(jù)條件合理、靈活地選擇方法．