Question

如圖，已知拋物線與x軸交于A（-1，0）、B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求直線BC的函數(shù)解析式；
（3）在拋物線上，是否存在一點(diǎn)P，使△PAB的面積等于△ABC的面積？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，代入三點(diǎn)即求得方程式；
（2）設(shè)直線BC的函數(shù)解析式為y=kx+b，代入BC兩點(diǎn)而求得；
（3）由△ABC的底邊AB上的高為3，設(shè)△PAB的高為h，則|h|=3，則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為3或-3，分兩種情況求得．
解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
∵拋物線與y軸交于點(diǎn)C的坐標(biāo)（0，3），
∴y=ax²+bx+3，
又∵拋物線與x軸交于點(diǎn)A（-1，0）、B（4，0），
∴，
∴拋物線的解析式為；

（2）設(shè)直線BC的函數(shù)解析式為y=kx+b，
∴，
解得，
所以直線BC的函數(shù)解析式為y=x+3；

（3）存在一點(diǎn)P，使△PAB的面積等于△ABC的面積，
∵△ABC的底邊AB上的高為3，
設(shè)△PAB的高為h，則|h|=3，則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為3或-3，
∴，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，3），（3，3），而點(diǎn)（0，3）與C點(diǎn)重合，故舍去．，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為，，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：P₁（3，3），P₂，P₃．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，包括了三點(diǎn)確定二次函數(shù)式，兩點(diǎn)確定一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)與二次函數(shù)結(jié)合的綜合考查，第三問(wèn)問(wèn)的很好．