Question

【題目】已知，如圖，A點(diǎn)坐標(biāo)是(1，3)，B點(diǎn)坐標(biāo)是(5，1)，C點(diǎn)坐標(biāo)是(1，1)

(1)求△ABC的面積是____；

(2)求直線AB的表達(dá)式；

(3)一次函數(shù)y＝kx+2與線段AB有公共點(diǎn)，求k的取值范圍；

(4)y軸上有一點(diǎn)P且△ABP與△ABC面積相等，則P點(diǎn)坐標(biāo)是_____．

Answer 1

【答案】(1)4；(2)y＝﹣x+；(3)0＜k≤1或﹣≤k＜0；(4)(0，)或(0，)．

【解析】

(1)根據(jù)A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)可得AC＝3﹣1＝2，BC＝5﹣1＝4，∠C＝90°，再利用三角形面積公式列式計(jì)算即可；

(2)設(shè)直線AB的表達(dá)式為y＝kx+b．將A(1，3)，B(5，1)代入，利用待定系數(shù)法即可求解；

(3)由于y＝kx+2是一次函數(shù)，所以k≠0，分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)k＞0時(shí)，求出y＝kx+2過A(1，3)時(shí)的k值；②當(dāng)k＜0時(shí)，求出y＝kx+2過B(5，1)時(shí)的k值，進(jìn)而求解即可；

(4)過C點(diǎn)作AB的平行線，交y軸于點(diǎn)P，根據(jù)兩平行線間的距離相等，可知△ABP與△ABC是同底等高的兩個(gè)三角形，面積相等．根據(jù)直線平移k值不變可設(shè)直線CP的解析式為y＝﹣x+n，將C點(diǎn)坐標(biāo)代入，求出直線CP的解析式，得到P點(diǎn)坐標(biāo)；再根據(jù)到一條直線距離相等的直線有兩條，可得另外一個(gè)P點(diǎn)坐標(biāo)．

解：(1)∵A點(diǎn)坐標(biāo)是(1，3)，B點(diǎn)坐標(biāo)是(5，1)，C點(diǎn)坐標(biāo)是(1，1)，

∴AC＝3﹣1＝2，BC＝5﹣1＝4，∠C＝90°，

∴S△ABC＝ACBC＝×2×4＝4．

故答案為4；

(2)設(shè)直線AB的表達(dá)式為y＝kx+b．

∵A點(diǎn)坐標(biāo)是(1，3)，B點(diǎn)坐標(biāo)是(5，1)，

∴，解得，

∴直線AB的表達(dá)式為y＝﹣x+；

(3)當(dāng)k＞0時(shí)，y＝kx+2過A(1，3)時(shí)，

3＝k+2，解得k＝1，

∴一次函數(shù)y＝kx+2與線段AB有公共點(diǎn)，則0＜k≤1；

當(dāng)k＜0時(shí)，y＝kx+2過B(5，1)，

1＝5k+2，解得k＝﹣，

∴一次函數(shù)y＝kx+2與線段AB有公共點(diǎn)，則﹣≤k＜0．

綜上，滿足條件的k的取值范圍是0＜k≤1或﹣≤k＜0；

(4)過C點(diǎn)作AB的平行線，交y軸于點(diǎn)P，此時(shí)△ABP與△ABC是同底等高的兩個(gè)三角形，所以面積相等．

設(shè)直線CP的解析式為y＝﹣x+n，

∵C點(diǎn)坐標(biāo)是(1，1)，

∴1＝﹣+n，解得n＝，

∴直線CP的解析式為y＝﹣x+，

∴P(0，)．

設(shè)直線AB：y＝﹣x+交y軸于點(diǎn)D，則D(0，)．

將直線AB向上平移﹣＝2個(gè)單位，得到直線y＝﹣x+，與y軸交于點(diǎn)P′，此時(shí)△ABP′與△ABP是同底等高的兩個(gè)三角形，所以△ABP與△ABC面積相等，易求P′(0，)．

綜上所述，所求P點(diǎn)坐標(biāo)是(0，)或(0，)．

故答案為(0，)或(0，)．