Question

甲：某供電局的電力維修工甲、乙兩人要到45千米遠(yuǎn)的A地進(jìn)行電力搶修．甲騎摩托車先行t（t≥0）小時(shí)后，乙開(kāi)搶修車載著所需材料出發(fā)．
（1）若小時(shí)，搶修車的速度是摩托車的1.5倍，且甲、乙兩人同時(shí)到達(dá)，求摩托車的速度；
（2）若摩托車的速度是45千米/小時(shí)，搶修車的速度是60千米/小時(shí)，且乙不能比甲晚到，則t的最大值是多少？
乙：如圖，分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊△ACD、等邊△ABE．若∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足為F，連接DF．
求證：（1）△ABC≌△EAF；
（2）四邊形ADFE是平行四邊形．

Answer 1

甲：解：（1）設(shè)摩托車的速度是x千米/時(shí)，則搶修車的速度是1.5x千米/時(shí)，
由題意得：，
解之得x=40．
經(jīng)檢驗(yàn)，x=40千米/時(shí)是原方程的解且符合題意．
答：摩托車的速度為40千米/時(shí)．

（2）由題意得，
解之得t≤．
∴0≤t≤．
∴t最大值是（時(shí)）
答：乙最多只能比甲遲小時(shí)出發(fā)，即t的最大值為．

乙：證明：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，
∴AB=2BC，
又∵△ABE是等邊三角形，EF⊥AB，
∴∠AEF=30°
∴AE=2AF，且AB=2AF，
∴AF=CB，
而∠ACB=∠AFE=90°，
在Rt△AFE和Rt△BCA中，
，
∴△ABC≌△EAF（HL）；

（2）∵△AFE≌△BCA，
∴AC=EF，
而△ACD是等邊三角形，
∴∠DAC=60°
∴EF=AC=AD，且AD⊥AB，
而EF⊥AB，
∴EF∥AD，
∴四邊形ADFE是平行四邊形．
分析：甲：（1）求的速度，路程明顯，一定是根據(jù)時(shí)間來(lái)列等量關(guān)系，本題的關(guān)鍵描述語(yǔ)是：甲、乙兩人同時(shí)到達(dá)．等量關(guān)系為：摩托車所用的時(shí)間-搶修車所用的時(shí)間=；
（2）關(guān)系式為：搶修車所用的時(shí)間+t≤摩托車所用的時(shí)間．
乙：（1）首先Rt△ABC中，由∠BAC=30°可以得到AB=2BC，又△ABE是等邊三角形，EF⊥AB，由此得到AE=2AF，并且AB=2AF，然后即可證明△AFE≌△BCA，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明AC=EF；
（2）根據(jù)（1）知道EF=AC，而△ACD是等邊三角形，所以EF=AC=AD，并且AD⊥AB，而EF⊥AB，由此得到EF∥AD，再根據(jù)平行四邊形的判定定理即可證明四邊形ADFE是平行四邊形．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了分式方程的應(yīng)用以及利用等邊三角形的性質(zhì)證明全等三角形，然后利用全等三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)證明平行四邊形，本題用到的等量關(guān)系是：路程=速度×?xí)r間．