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12.(1)如圖1,在矩形ABCD中,點P為邊BC上一點,且AB=4,BC=10,∠APD=∠B,BP<PC,求BP的長;
(2)如圖2,在平行四邊形ABCD中,AB=22,BC=5,∠APD=∠B=45°,求AP的長;
(3)如圖3,在四邊形ABCD中,AD∥BC,∠B=∠C=45°,AB=22,在BC邊上存在一點P,使得∠APD=90°,則邊AD的長滿足的條件為AD≥4.(請直接寫出結(jié)果)

分析 (1)由四邊形ABCD是矩形,得到∠B=∠C=90°,根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠BAP=∠DPC,推出△ABP∽△PCD,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論;
(2)延長BC至點E,使得CD⊥DE,通過△ABP∽△DPE,列方程得到BP=1,過點P作PF⊥AB,解直角三角形即可得到結(jié)論;
(3)作AE⊥BC,DF⊥BC,得到∠AEP=∠DFP=90°,推出△AEP∽△PFD,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到AE•DF=PE•PF=4,由PE+PF≥2PEPF,即可得到結(jié)論.

解答 解:(1)∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠B=∠C=90°,
∵∠APD=∠B=90°,
∴∠PAB+∠APB=∠APB+∠DPC=90°,
∴∠BAP=∠DPC,
∴△ABP∽△PCD,
ABBP=PCCD,
設(shè)BP=x,∴4x=10x4
∴x1=2,x2=8,又BP<PC,
∴BP=2;

(2)延長BC至點E,使得CD⊥DE,
∵AB=22,BC=5,∠APD=∠B=45°,
∴∠DPE=∠BAP,∠B=∠E=45°,
∴△ABP∽△DEP,
ABBP=PEDE
設(shè)BP=x,CE=2CD=4,
22x=9x22,
∴BP=1,
過點P作PF⊥AB,
則BF=PF=22,AF=322,
∴AP=5;

(3)AD≥4,
作AE⊥BC,DF⊥BC,
∴∠AEP=∠DFP=90°,
∵∠APD=90°,
∴∠EAP+∠APE=∠APE+∠DPF=90°,
∴∠EAP=∠DPF,
∴△AEP∽△PFD,
AEPE=PFDF,
∴AE•DF=PE•PF=4,
∵PE+PF≥2PEPF,
∴AD=PE+PF≥4.
故答案為:AD≥4.

點評 本題考查了矩形的性質(zhì),平行四邊形的性質(zhì),梯形的性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì),正確的作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵.

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