Question

已知一個面積為S的等邊三角形，現(xiàn)將其各邊n（n為大于2的整數(shù)）等分，并以相鄰等分點為頂點向外作小等邊三角形（如圖所示）．
（1）當(dāng)n=5時，共向外作出了

 

個小等邊三角形，每個小等邊三角形的面積為

 

；
（2）當(dāng)n=k時，共向外作出了

 

個小等邊三角形，這些小等邊三角形的面積和為

 

（用含k的式子表示）．

Answer 1

分析：（1）結(jié)合圖形正確數(shù)出前面幾個具體值，從而發(fā)現(xiàn)等邊三角形的個數(shù)和等分點的個數(shù)之間的關(guān)系：是n等分點的時候，每條邊可以作（n-2）個三角形，共有3（n-2）個三角形；再根據(jù)相似三角形面積的比是邊長的比的平方進(jìn)行計算．

解答：解：（1）當(dāng)n=5時，共有3×（5-2）=9個小等邊三角形，
∴每個小三角形與大三角形邊長的比=

1

5

，
∵大三角形的面積是S，
∴每個小三角形的面積為

1

25

S；‘

（2）由（1）可知，當(dāng)n=k時，共有3×（k-2）=3（k-2），每個小三角形的面積為

3(k-2)

k2

S．

點評：此題要特別注意畫等邊三角形的時候，必須以相鄰等分點為頂點向外作小等邊三角形，所以有n等分點的時候，一邊可以作（n-2）個等邊三角形；計算面積的時候，主要是根據(jù)面積比是邊長的平方比進(jìn)行計算．