Question

6．如圖所示，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，∠ACB的平分線CD交AB于點(diǎn)D，DE⊥BC于點(diǎn)E．
（1）求證：AC=CE；
（2）若EF⊥AC于點(diǎn)F，請(qǐng)你猜想$\frac{EF}{AC}$與$\frac{\sqrt{2}}{2}$的大小關(guān)系，并證明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）由角平分線的定義得出∠ACD=∠ECD，由AAS證明△ACD≌△ECD，得出對(duì)應(yīng)邊相等即可；
（2由等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠ACB=45°，證明△CEF是等腰直角三角形得出EF=FC，由勾股定理得出EC=$\sqrt{2}$EF，由AC=EC，即可得出結(jié)果．

解答 （1）證明：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠ECD，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC=90°=∠A，
在△ACD和△ECD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠DEC}&{\;}\\{∠ACD=∠ECD}&{\;}\\{CD=CD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△ECD（AAS），
∴AC=CE；
（2）解：$\frac{EF}{AC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；理由如下：
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACB=45°，
∵EF⊥AC，
∴∠DFC=90°，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴EF=FC，
由勾股定理得：2EF²=EC²，
∴EC=$\sqrt{2}$EF，
即$\frac{EF}{EC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由（1）得：AC=EC，
∴$\frac{EF}{AC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理；熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．