Question

【題目】如圖，在梯形中，，，.點為邊的中點，以為頂點作，射線交腰于點，射線交腰于點，聯結.

（1）求證：；

（2）若是以為腰的等腰三角形，求的長；

（3）若，求的長.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）或；（3）.

【解析】

（1）先根據相似三角形的判定證出：，從而得出，再結合已知條件可得：，從而證出：.

（2）根據腰的情況分類討論：①若BM=EM=3時，根據相似三角形的性質，可證出：FM=EF，CF=FM，從而證出：∠B＝∠FMB，再根據平行線的判定即可得：MF∥AB，連接DM根據平行四邊形的判定可得：四邊形ABMD是平行四邊形，從而證出：MD∥AB，故可判定此時D、F重合，從此得出EF=FM=FC=DC=6；②若BM=BE=3時，易證EF為梯形ABCD的中位線，從而求出EF；

（3）根據相似三角形的性質和已知條件可得：，過點作，過點A作，然后求出cosB，設，則，根據勾股定理：，根據BH＋HM=BM即可求出BE.

（1）在梯形中，

，，

，

，

又，

.

.

.

，

，即.

又，

.

（2）∵，點為邊的中點

∴BM=

①若BM=EM=3時

∵，

∴，

∴FM=EF

∵

∴

∴CF=FM

∴∠C＝∠FMB

∴∠B＝∠FMB

∴MF∥AB

連接DM

∵AD=BM=3，AD∥BM

∴四邊形ABMD是平行四邊形

∴MD∥AB

∴此時D、F重合

∴EF=FM=FC=DC=6；

②若BM=BE=3時，

∴E為AB的中點

∵

∴

∴CF=CM=3

∴F為CD的中點

∴EF為梯形ABCD的中位線

∴EF=

綜上所述：或.

（3），，，

.

過點作，過點A作

∴BN=

∴cosB=

設，

則，根據勾股定理：，

∵BH＋HM=BM

∴，

.