Question

（2009•鄂爾多斯）在△ABC中，AB=AC=2，∠A=90°，取一塊含45°角的直角三角尺，將直角頂點放在斜邊BC邊的中點O處（如圖1），繞O點順時針方向旋轉(zhuǎn)，使90°角的兩邊與Rt△ABC的兩邊AB，AC分別相交于點E，F(xiàn)（如圖2）．設(shè)BE=x，CF=y．
（1）探究：在圖2中，線段AE與CF之間有怎樣的大小關(guān)系？試證明你的結(jié)論；
（2）若將直角三角尺45°角的頂點放在斜邊BC邊的中點O處（如圖3），繞O點順時針方向旋轉(zhuǎn)，其他條件不變．
①試寫出y與x的函數(shù)解析式，以及x的取值范圍；
②將三角尺繞O點旋轉(zhuǎn)（如圖4）的過程中，△OEF是否能成為等腰三角形？若能，直接寫出△OEF為等腰三角形時x的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題可通過構(gòu)建三角形，通過證全等來得出AE與CF相等的關(guān)系，連接OA，那么只要證明三角形AEO和OFC全等即可，根據(jù)ASA可得出三角形AEO和OFC全等；
（2）①本題可通過證△BEO∽△COF相似，得出關(guān)于x，y的比例關(guān)系，然后得出x，y的關(guān)系式；
②可根據(jù)①中得出的式子求x的值，注意要分三種情況進行討論．
解答：解：（1）線段AE與CF之間有相等關(guān)系．
證明：連接AO．如圖2，
∵AB=AC，點O為BC的中點，∠BAC=90°，
∴∠AOC=90°，∠EAO=∠C=45°，AO=OC．
∵∠EOF=90°，∠EOA+∠AOF=90°，∠COF+∠AOF=90°，
∴∠EOA=∠FOC．
∴△EOA≌△FOC，
∴AE=CF．

（2）①連接AO．
如圖4，∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠C=∠B=45°，
∴∠BEO+∠EOB=135°，
∵∠EOF=45°，
∴∠FOC+∠EOB=135°，
∴∠FOC=∠BEO，
∴△BEO∽△COF，
∴．
在Rt△ABC中，BC==2，點O為BC的中點，
∴BO=OC=．
∵BE=x，CF=y，
∴，即xy=2，
∴．
取值范圍是：0＜x≤2．
②△OEF能構(gòu)成等腰三角形．
當F與A重合時，x=1，此時OE=EA（或OE=EF）；
當E與A重合時，此時x=2，OA=OF（或EF=OF）；
當E、F分別在A點的兩邊時，x=，OE=OF，△OEF能構(gòu)成等腰三角形．
點評：本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)等知識點．
要注意的是旋轉(zhuǎn)變化前后，對應(yīng)線段、對應(yīng)角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變．