Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線L：y=x是第一、三象限的角平分線．
（1）觀察與探究：
由圖易知：A（0，2）關(guān)于直線L的對稱點A′的坐標為（2，0）；B（5，3）關(guān)于直線L的對稱點B′的坐標為（3，5）；請在圖中標出C（-6，1）關(guān)于直線L的對稱點C′的位置，并寫出它的坐標：C′

 

；
（2）歸納與發(fā)現(xiàn)：
結(jié)合圖形觀察以上三組點的坐標，你會發(fā)現(xiàn)：坐標平面內(nèi)任一點P（a，b）關(guān)于第一、三象限的角平分線L的對稱點P′的坐標為

 

（不必證明）；
（3）運用與拓廣：已知兩點M（3，-2）、N（-1，-4），試在直線L上確定一點Q，使點Q到M、N兩點的距離之和最小，并求出Q點坐標．

Answer 1

分析：（1）作C（-6，1）關(guān)于直線l的對稱點C'，C'（1，-6）；
（2）觀察以上三組點的坐標，你會發(fā)現(xiàn)坐標平面內(nèi)任一點P（a，b）關(guān)于第一、三象限的角平分線l的對稱點P'的坐標為（b，a）；
（3）點N關(guān)于直線l的對稱點N'的坐標為（-4，-1），可求出點M、點N'的直線解析式為y=-

1

7

x-

11

7

．點Q是直線y=-

1

7

x-

11

7

與直線l：y=x的交點，解方程組：

y=x y=- 1 7 x- 11 7

即可得到點Q的坐標．

解答：解：（1）C′（1，-6）（2分）

（2）（b，a）（4分）

（3）直線L的解析式為y=x
作點N關(guān)于L的對稱點N′（-4，-1），設(shè)直線MN的解析式為y=kx+b（7分）
則

-1=-4k+b -2=3k+b

k=- 1 7 b=- 11 7

∴y=-

1

7

x-

11

7

（10分）
解方程組

y=x y=- 1 7 x- 11 7

得x=y=-

11

8

∴直線L上的點Q(-

11

8

，-

11

8

)符合條件．（12分）

點評：此題主要考查軸對稱--最短路線問題，綜合運用了一次函數(shù)的知識．