Question

已知△ABC，以AC為邊在△ABC外作等腰△ACD，其中AC=AD。
【小題1】如圖1，以AB為邊在△ABC外作等腰△ABE，其中AB=AE，，試證明BD=CE；
【小題2】如圖2，若∠ABC=30°，△ACD是等邊三角形，AB=3，BC=4，求BD的長；
【小題3】如圖3，若∠ACB為銳角，作AH⊥BC于H，當BD²=4AH²+BC²時，問∠DAC與∠ABC有怎樣的關系，直接寫出結論（不需要證明）。

Answer 1

【小題1】∵∠BAE=∠CAD
∴∠CAE=∠BAD
∵AE=AB,AC=AD,
∴△ACE≌△ABD
∴BD=CE…….………………………………………………………………5分
【小題2】如圖2，以A為頂點AB為邊在外作=60°，并在AE上取AE=AB，連結BE和CE.                  ……………………………………7分

∵是等邊三角形,
∴AD=AC，=60°.
∵=60°,
∴+=+.
即=.
∴≌.   ………………8分                                                                              
∴EC=BD.
∵=60°，AE=AB=3,
∴是等邊三角形，
∴="60°," EB= 3， …………………9分
∵,
∴.
∵，EB=3，BC=4,
∴EC=5.
∴BD=5.             ……………………10分
【小題3】=2.       ……………………12分                              
附：證明：
如圖３，過點B作BE∥AH，并在BE上取BE=2AH，連結EA，EC. 并取BE的中點K，連結AK.

∵于H，  ∴.  ∵BE∥AH,  ∴.
∵，BE=2AH,  ∴.
∵,  ∴EC=BD.
∵K為BE的中點，BE=2AH,  ∴BK=AH.
∵BK∥AH，  ∴四邊形AKBH為平行四邊形.
又∵,  ∴四邊形AKBH為矩形.  ∴.
∴AK是BE的垂直平分線.  ∴AB=AE.
∵AB=AE，EC=BD，AC=AD,  ∴≌.                       
∴.  ∴.
即.  ∵，為銳角,  ∴.
∵AB=AE,  ∴.  ∴.  ∴=2.
∴=2  解析:
（1）由AC=AD得∠D=∠ACD，由平行四邊形的性質得∠D=∠ABC，在△ACD中，由內角和定理求解；
（2）如圖2，在△ABC外作等邊△BAE，連接CE，利用旋轉法證明△EAC≌△BAD，可證∠EBC=90°，BE=AB=3，在Rt△BCE中，由勾股定理求CE，由三角形全等得BD=CE；
（3）∠DAC=2∠ABC成立，過點B作BE∥AH，并在BE上取BE=2AH，連接EA，EC．并取BE的中點K，連接AK，仿照（2）利用旋轉法證明△EAC≌△BAD，利用內角和定理證明結論．