Question

（2009•威海）如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為（-1，0），（3，0），（0，3），過(guò)A，B，C三點(diǎn)的拋物的對(duì)稱軸為直線l，D為對(duì)稱軸l上一動(dòng)點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求當(dāng)AD+CD最小時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）以點(diǎn)A為圓心，以AD為半徑作⊙A．
①證明：當(dāng)AD+CD最小時(shí)，直線BD與⊙A相切；
②寫出直線BD與⊙A相切時(shí)，D點(diǎn)的另一個(gè)坐標(biāo)：______．

Answer 1

【答案】分析：（1）由待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式．
（2）連接BC，交直線l于點(diǎn)D，根據(jù)拋物線對(duì)稱軸的性質(zhì)，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于直線l對(duì)稱，∴AD=BD．
∴AD+CD=BD+CD，由“兩點(diǎn)之間，線段最短”的原理可知：D在直線BC上AD+CD最短，所以D是直線l與直線BC的交點(diǎn)，
設(shè)出直線BC的解析式為y=kx+b，可用待定系數(shù)法求得BC直線的解析式，故可求得BC與直線l的交點(diǎn)D的坐標(biāo)．
（3）由（2）可知，當(dāng)AD+CD最短時(shí)，D在直線BC上，由于已知A，B，C，D四點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)線段之間的長(zhǎng)度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC與圓相切．由于AB⊥l，故由垂徑定理知及切線長(zhǎng)定理知，另一點(diǎn)D與現(xiàn)在的點(diǎn)D關(guān)于x軸對(duì)稱，所以另一點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，-2）．
解答：解：
（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3）．（1分）
將（0，3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．
解，得a=-1．（2分）∴拋物線的解析式為y=-（x+1）（x-3）．
即y=-x²+2x+3．（3分）

（2）連接BC，交直線l于點(diǎn)D．
∵點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于直線l對(duì)稱，
∴AD=BD．（4分）
∴AD+CD=BD+CD=BC．
由“兩點(diǎn)之間，線段最短”的原理可知：
此時(shí)AD+CD最小，點(diǎn)D的位置即為所求．（5分）
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
由直線BC過(guò)點(diǎn)（3，0），（0，3），
得
解這個(gè)方程組，得
∴直線BC的解析式為y=-x+3．（6分）
由（1）知：對(duì)稱軸l為，即x=1．
將x=1代入y=-x+3，得y=-1+3=2．
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，2）．（7分）
說(shuō)明：用相似三角形或三角函數(shù)求點(diǎn)D的坐標(biāo)也可，答案正確給（2分）．

（3）①連接AD．設(shè)直線l與x軸的交點(diǎn)記為點(diǎn)E．
由（2）知：當(dāng)AD+CD最小時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，2）．
∴DE=AE=BE=2．
∴∠DAB=∠DBA=45度．（8分）
∴∠ADB=90度．
∴AD⊥BD．
∴BD與⊙A相切．（9分）
②∵另一點(diǎn)D與D（1，2）關(guān)于x軸對(duì)稱，
∴D（1，-2）．（11分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線與數(shù)軸交點(diǎn)問(wèn)題，以及頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，頂點(diǎn)與對(duì)稱軸之間的關(guān)系，圓與直線相切時(shí)的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短，垂徑定理和切線長(zhǎng)定理等定理．