Question

如圖所示，平面直角坐標系中，拋物線y＝ax²＋bx＋c經(jīng)過A(0，4)、B(－2，0)、C(6，0)．過點A作AD∥x軸交拋物線于點D，過點D作DE⊥x軸，垂足為點E．點M是四邊形OADE的對角線的交點，點F在y軸負半軸上，且F(0，－2)．

(1)求拋物線的解析式，并直接寫出四邊形OADE的形狀；

(2)當點P、Q從C、F兩點同時出發(fā)，均以每秒1個長度單位的速度沿CB、FA方向運動，點P運動到O時P、Q兩點同時停止運動．設運動的時間為t秒，在運動過程中，以P、Q、O、M四點為頂點的四邊形的面積為S，求出S與t之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量的取值范圍；

(3)在拋物線上是否存在點N，使以B、C、F、N為頂點的四邊形是梯形？若存在，直接寫出點N的坐標；不存在，說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵拋物線經(jīng)過A(0，4)、B(－2，0)、C(6，0) 　　∴得到　　2分 　　解得a＝－，b＝，c＝4 　　∴拋物線的解析式為y＝－x＋x＋4　　3分 　　(或y＝－(x＋2)(x－6)或y＝－(x－2)＋) 　　四邊形OADE為正方形　　4分 　　(2)根據(jù)題意可知OE＝OA＝4　OC＝6　OB＝OF＝2 　　∴CE＝2　∴CO＝FA＝6 　　∵運動的時間為t∴CP＝FQ＝t 　　過M作MN⊥OE于N，則MN＝2 　　當0≤t＜2時，OP＝6－t，OQ＝2－t　　5分 　　∴S＝＋＝(6－t)×2＋(6－t)(2－t)＝(6－t)(4－t) 　　∴S＝t－5t＋12　　7分 　　當t＝2時，Q與O重合，點M、O、P、Q不能構成四邊形．(不寫也可) 　　當2＜t＜6時，連接MO，ME則MO＝ME且∠QOM＝∠PEM＝45　　8分 　　∵FQ＝CP＝t，F(xiàn)O＝CE＝2 　　∴OQ＝EP 　　∴△QOM≌△PEM 　　∴四邊形OPMQ的面積S＝＝×4×2＝4　　10分 　　綜上所述，當0≤t＜2時，S＝t－5t＋12；當2＜t＜6時，S＝4 　　(3)存在N(1，5)，N(5，)，N(2＋，－2)，N(2－，－2)　　14分