Question

15、如圖①，點(diǎn)M為銳角三角形ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，連接AM、BM、CM．以AB為一邊向外作等邊三角形△ABE，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN．
（1）求證：△AMB≌△ENB；
（2）若AM+BM+CM的值最小，則稱點(diǎn)M為△ABC的費(fèi)爾馬點(diǎn)．若點(diǎn)M為△ABC的費(fèi)爾馬點(diǎn)，試求此時(shí)∠AMB、∠BMC、∠CMA的度數(shù)；
（3）小翔受以上啟發(fā)，得到一個(gè)作銳角三角形費(fèi)爾馬點(diǎn)的簡(jiǎn)便方法：如圖②，分別以△ABC的AB、AC為一邊向外作等邊△ABE和等邊△ACF，連接CE、BF，設(shè)交點(diǎn)為M，則點(diǎn)M即為△ABC的費(fèi)爾馬點(diǎn)．試說(shuō)明這種作法的依據(jù)．

Answer 1

分析：（1）結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)，根據(jù)SAS可證△AMB≌△ENB；
（2）連接MN，由（1）的結(jié)論證明△BMN為等邊三角形，所以BM=MN，即AM+BM+CM=EN+MN+CM，所以當(dāng)E、N、M、C四點(diǎn)共線時(shí)，AM+BM+CM的值最小，從而可求此時(shí)∠AMB、∠BMC、∠CMA的度數(shù)；
（3）根據(jù)（2）中費(fèi)爾馬點(diǎn)的定義，又△ABC的費(fèi)爾馬點(diǎn)在線段EC上，同理也在線段BF上．因此線段EC與BF的交點(diǎn)即為△ABC的費(fèi)爾馬點(diǎn)．

解答：解：（1）證明：∵△ABE為等邊三角形，
∴AB=BE，∠ABE=60°．
而∠MBN=60°，
∴∠ABM=∠EBN．
又∵BM=BN，
∴△AMB≌△ENB．
（2）連接MN．由（1）知，AM=EN．
∵∠MBN=60°，BM=BN，
∴△BMN為等邊三角形．
∴BM=MN．
∴AM+BM+CM=EN+MN+CM．
∴當(dāng)E、N、M、C四點(diǎn)共線時(shí)，AM+BM+CM的值最�。�
此時(shí)，∠BMC=180°-∠NMB=120°；
∠AMB=∠ENB=180°-∠BNM=120°；
∠AMC=360°-∠BMC-∠AMB=120°．
（3）由（2）知，△ABC的費(fèi)爾馬點(diǎn)在線段EC上，同理也在線段BF上．
因此線段EC與BF的交點(diǎn)即為△ABC的費(fèi)爾馬點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)，是一道綜合性的題目難度很大．