Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC邊于點(diǎn)D，交AC邊于點(diǎn)E．過點(diǎn)D作⊙O的切線，交AC于點(diǎn)F，交AB的延長線于點(diǎn)G，連接DE．
（1）求證：BD=CD；
（2）若∠G=40°，求∠AED的度數(shù)．
（3）若BG=6，CF=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接AD，

∵AB為直徑，

∴∠ACB=90°，

∴AD⊥BC，

∵AB=AC，

∴BD=CD

（2）解：連接OD，

∵GF是切線，OD是半徑，

∴OD⊥GF，

∴∠ODG=90°，

∵∠G=40°，

∴∠GOD=50°，

∵OB=OD，

∴∠OBD=65°，

∵點(diǎn)A、B、D、E都在⊙O上，

∴∠ABD+∠AED=180°，

∴∠AED=115°

（3）解：∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C，

∵OB=OD，

∴∠ABC=∠ODB，

∴∠ODB=∠C，

∴OD∥AC，

∴△GOD∽△GAF，

∴ = ，

∴設(shè)⊙O的半徑是r，則AB=AC=2r，

∴AF=2r﹣2，

∴ = ，

∴r=3，

即⊙O的半徑是3

【解析】（1）連接AD，根據(jù)圓周角定理得出AD⊥BC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出即可；（2）連接OD，根據(jù)切線的性質(zhì)求出∠ODG=90°，求出∠BOD、∠ABC，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形求出即可；（3）求出△ODG∽△AFG，得出比例式，即可求出圓的半徑．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用等腰三角形的性質(zhì)和切線的性質(zhì)定理的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡稱：等邊對等角）；切線的性質(zhì)：1、經(jīng)過切點(diǎn)垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過切點(diǎn)垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．