Question

如圖，已知⊙O₁、⊙O₂交于點A、B，O₁A、O₁B的延長線分別與⊙O₂交于點C、D．
（1）求證：AC=BD；
（2）若⊙O₁的半徑為5，O₁O₂=10，sin∠AO₁O₂=，求CD的長．

Answer 1

解：（1）證明：連接AB，過點O₂作O₂E⊥AC、O₂F⊥BD，垂足分別為點E、F，
∵O₁O₂是連心線，AB是公共弦，
∴O₁O₂垂直平分AB．
又O₁A=O₁B，
∴O₁O₂平分∠AO₁B．
∴O₂E=O₂F．
∴AC=BD．

（2）連接CD，
∵O₁O₂=10，，
∴O₂E=6，O₁E=8．
又∵⊙O₁的半徑為5，
∴AE=3，從而AC=6．
又可得AB=6．
∵O₁A=O₁B，AC=BD，
∴AB∥CD．
∴△ABO₁∽△CDO₁，
∴，
∴，
∴．
分析：（1）連接AB，過點O₂作O₂E⊥AC、O₂F⊥BD，垂足分別為點E、F，要證明AC=BD，只需證明它們的弦心距相等，結(jié)合已知條件，只需根據(jù)相交兩圓的性質(zhì)，可以得到相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦，再根據(jù)角平分線上的點到線段兩個端點的距離相等，即可證明；
（2）設(shè)AB與連心線的交點是F，在直角三角形AO₁F中和直角三角形O₁O₂E中，根據(jù)銳角三角函數(shù)sin∠AO₁O₂=，和⊙O₁的半徑為5，O₁O₂=10可以求得AF，O₂E，O₁E的長，進(jìn)一步求得AB的長和AC的長，根據(jù)O₁A=O₁B，AC=BD，得到AB∥CD，再進(jìn)一步寫出要求的線段和已知的線段之間的比例式進(jìn)行求解．
點評：連接相交兩圓的公共弦是相交兩圓中常見的輔助線之一．能夠綜合運用相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦、等腰三角形的三線合一、角平分線的性質(zhì)、兩條弦的弦心距相等，則兩條弦相等的性質(zhì)；能夠熟練運用銳角三角函數(shù)進(jìn)行計算．