Question

19．如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是各邊的中點(diǎn)，對(duì)角線AC⊥BD于點(diǎn)O．求證：四邊形EFGH是矩形．

Answer 1

分析 先由三角形的中位線定理推知四邊形EFGH是平行四邊形，然后由AC⊥BD可以證得平行四邊形EFGH是矩形．

解答 證明：如圖，∵E、F、G、H分別是線段AB、BC、CD、AD的中點(diǎn)，
∴EH、FG分別是△ABD、△BCD的中位線，EF、HG分別是△ACD、△ABC的中位線，
根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)知，EF∥AC，GH∥AC且EF=$\frac{1}{2}$AC，GH=$\frac{1}{2}$AC
∴四邊形EFGH是平行四邊形
又∵AC⊥BD，
∴EF⊥FG
∴四邊形EFGH是矩形．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查中點(diǎn)四邊形，解題時(shí)，利用三角形中位線定理判定四邊形EFGH是平行四邊形是解題的關(guān)鍵．