Question

12．已知二次函數(shù)y=ax²+bx+3（a≠0）圖象的對稱軸是直線x=2，且經過點B（3，0）．
（1）求這個二次函數(shù)的解析式；
（2）若y＞0，請直接寫出x的取值范圍；
（3）若拋物線y=ax²+bx+3-t（a≠0，t為實數(shù)）在$0＜x＜3\frac{1}{2}$的范圍內與x軸有公共點，求出t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由拋物線的對稱性可求得點B對稱點的坐標，從而然后依據(jù)待定系數(shù)法可求得二次函數(shù)的解析式；
（2）y＞0，即拋物線位于x軸上方，從而可求得x的取值范圍；
（3）由（1）可知y=ax²+bx+3-t的解析式為y=x²-4x+3-t，當△=0時，可求得t=-1，將x=0，y=0代入可求得t=3，從而可得到-1≤t＜3．

解答 解：（1）∵對稱軸為x=2，點B（3，0），
∴拋物線經過點（1，0）．
將（1，0）、（3，0）代入得：9a+3b+3=0且a+b+3=0
解得a=1，b=-2
∴y=x²-4x+3．
（2）∵y＞0，
∴拋物線位于x軸的上方．
∴x的取值范圍是x＜1或x＞3．
（3）由（1）ax²+bx+c=x²-4x+3
∴y=x²-4x+3-t
①當△=0時，該函數(shù)圖象與x軸只有一個交點
此時，△=（-4）²-4（3-t）=0
即4+4t=0
∴t=-1
②當該函數(shù)圖象過（0，0）時，
將（0，0）代入y=x²-4x+3-t
0=3-t
∴t=3
∴t的取值范圍是：-1≤t＜3．

點評 本題主要考查的是拋物線與x軸的交點，利用數(shù)形結合思想求得x和t的取值范圍是解題的關鍵．