Question

圓周上有12個(gè)點(diǎn)，其中有一個(gè)是涂了紅色，還有一個(gè)是涂了藍(lán)色，其余10個(gè)是沒(méi)有涂色，以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)的凸多邊形中，其頂點(diǎn)包含了紅點(diǎn)及藍(lán)點(diǎn)的多邊形稱為雙色多邊形，只包含紅點(diǎn)（藍(lán)點(diǎn)）的稱為紅色（藍(lán)色）多邊形，不包含紅點(diǎn)及藍(lán)點(diǎn)的稱為無(wú)色多邊形．試問(wèn)以這12個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的所有凸多邊形（邊數(shù)從三角形到12邊形）中，雙色多邊形的個(gè)數(shù)與無(wú)色多邊形的個(gè)數(shù)哪一種多？多多少？

Answer 1

分析：分析考察雙色n（n≥5）邊形和去掉紅、藍(lán)兩個(gè)頂點(diǎn)后得到的無(wú)色n-2邊形的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系．

解答：解：對(duì)于任何一個(gè)雙色n（n≥5）邊形，顯然去掉紅、藍(lán)頂點(diǎn)后，得到一個(gè)無(wú)色n-2邊形，
不同的雙色n邊形去掉紅藍(lán)頂點(diǎn)后，得到的是不同的無(wú)色n-2邊形．
反過(guò)來(lái)，對(duì)任一無(wú)色多邊形，添上紅藍(lán)頂點(diǎn)后，總可以得到一個(gè)雙色多邊形，
由此可知，無(wú)色多邊形（從三角形到十邊形）的個(gè)數(shù)與雙色多邊形（從五邊形到十二邊形）的個(gè)數(shù)相等．
因此，雙色多邊形的個(gè)數(shù)多，多出來(lái)的數(shù)目恰是雙色三角形和雙色四邊形的數(shù)目．
雙色三角形有10個(gè)．
雙色四邊形有

1

2

×10×9=45個(gè)．
這是由于每對(duì)應(yīng)一個(gè)雙色三角形，可以有九個(gè)雙色四邊形，而在90個(gè)雙色四邊形中，兩兩相重，故只有45個(gè)雙色四邊形．
∴雙色多邊形比無(wú)色多邊形多55個(gè)．

點(diǎn)評(píng)：此題注重邏輯推理，根據(jù)雙色多邊形與無(wú)色多邊形的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系推知二者個(gè)數(shù)相等是解題的關(guān)鍵一步．