Question

已知∠MON=60°，射線OT是∠MON的平分線，點(diǎn)P是射線OT上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，射線PB交射線ON于點(diǎn)B．
（1）如圖，若射線PB繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°后與射線OM交于A，求證：PA=PB；
（2）在（1）的條件下，若點(diǎn)C是AB與OP的交點(diǎn)，且滿足PC=

3

2

PB，求：△POB與△PBC的面積之比；
（3）當(dāng)OB=2時(shí)，射線PB繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°后與直線OM交于點(diǎn)A（點(diǎn)A不與點(diǎn)O重合），直線PA交射線ON于點(diǎn)D，且滿足∠PBD=∠ABO．請(qǐng)求出OP的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）可以把求證PA=PB的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明△PAF≌△PBG即可；
（2）首先證明△POB∽△PBC，利用相似三角形的面積的比等于相似比的平方即可求解；
（3）分點(diǎn)A在射線OM上，點(diǎn)A在射線OM的反向延長(zhǎng)線上兩種情況進(jìn)行討論，作OT的垂線，利用三角函數(shù)即可求解．

解答：（1）證明：作PF⊥OM于F，作PG⊥ON于G，（1分）
∵OP平分∠MON，
∴PF=PG，（2分）
∵∠MON=60°，
∴∠FPG=360°-60°-90°-90°=120°，（3分）
又∵∠APB=120°，
∴∠APF=∠BPG，
∴△PAF≌△PBG，（4分）
∴PA=PB；（5分）

（2）由（1）得：PA=PB，∠APB=120°，
∴∠PAB=∠PBA=30°，（6分）
∵∠MON=60°，OP平分∠MON，
∴∠TON=30°，（7分）
∴∠POB=∠PBC，（8分）
又∠BPO=∠OPB，
∴△POB∽△PBC，（9分）
∴

S△POB

S△PBC

=(

PB

PC

)2=(

PB

3 2 PB

)2=

4

3

，
∴△POB與△PBC的面積之比為4：3；（10分）

（3）①當(dāng)點(diǎn)A在射線OM上時(shí)（如圖乙1），
，
易求得：∠BPD=∠BOA=60°，
∵∠PBD=∠ABO，而∠PBA=30°，
∴∠OBA=∠PBD=75°，
作BE⊥OT于E，
∵∠NOT=30°，OB=2，
∴BE=1，OE=

3

，∠OBE=60°，
∴∠EBP=∠EPB=45°，
∴PE=BE=1，
∴OP=OE+PE=

3

+1，（12分）
②當(dāng)點(diǎn)A在射線OM的反向延長(zhǎng)線上時(shí)（如圖乙2），
，
此時(shí)∠AOB=∠DPB=120°，
∵∠PBD=∠ABO，而∠PBA=30°，
∴∠OBA=∠PBD=15°，
作BE⊥OT于E，
∵∠NOT=30°，OB=2，
∴BE=1，OE=

3

，∠OBE=60°，
∴∠EBP=∠EPB=45°，
∴PE=BE=1，
∴OP=

3

-1，（14分）
∴綜上所述，當(dāng)OB=2時(shí)，OP=

3

+1或

3

-1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了全等三角形的判定，相似三角形的性質(zhì)，以及三角函數(shù)，正確作輔助線，轉(zhuǎn)化為直角三角形的計(jì)算，以及正確進(jìn)行分類是解題的關(guān)鍵．