Question

已知：關(guān)于x的一元二次方程x²-2（m+1）x+m²=0有兩個(gè)整數(shù)根，m＜5且m為整數(shù)．
（1）求m的值；
（2）當(dāng)此方程有兩個(gè)非零的整數(shù)根時(shí)，將關(guān)于x的二次函數(shù)y=x²-2（m+1）x+m²的圖象沿x軸向左平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，求平移后的二次函數(shù)圖象的解析式；
（3）當(dāng)直線y=x+b與（2）中的兩條拋物線有且只有三個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求b的值．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)方程有兩個(gè)整數(shù)根時(shí)△≥0且為完全平方數(shù)，再由m＜5且m為整數(shù)即可求出m的值；
（2）分別求出m=0和m=4時(shí)方程的根，再求出m的值，得出拋物線的解析式，然后根據(jù)函數(shù)圖象平移的法則即可得出平移后的二次函數(shù)圖象的解析式；
（3）當(dāng)直線y=x+b與（2）中的兩條拋物線有且只有三個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可知直線與平移前或后的拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)或者過(guò)兩條拋物線的交點(diǎn)（3，-5），
①當(dāng)直線y=x+b與平移前或后拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)可聯(lián)立直線與拋物線的解析式，根據(jù)△=0求出b的值；
②當(dāng)直線y=x+b過(guò)點(diǎn)（3，-5）時(shí)，把此點(diǎn)坐標(biāo)代入直線解析式即可求出b的值．

解答：解：（1）∵方程x²-2（m+1）x+m²=0有兩個(gè)整數(shù)根，
∴△=4（m+1）²-4m²=8m+4≥0，且為完全平方數(shù)．
∵m＜5且m為整數(shù)，
∴0≤8m+4＜44，
∴m=0或4；


（2）當(dāng)m=0時(shí)，方程的根為x₁=0，x₂=2；當(dāng)m=4時(shí)，方程的根為x₃=8，x₄=2．
∵方程有兩個(gè)非零的整數(shù)根，
∴m=4，
∴二次函數(shù)y=x²-2（m+1）x+m²的解析式是y=x²-10x+16，
將y=x²-10x+16=（x-5）²-9的圖象沿x軸向左平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到：y=（x-1）²-9，
∴平移后的二次函數(shù)圖象的解析式為y=x²-2x-8；


（3）當(dāng)直線y=x+b與（2）中的兩條拋物線有且只有三個(gè)交點(diǎn)時(shí)，
可知直線與平移前或后的拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)或者過(guò)兩條拋物線的交點(diǎn)（3，-5），
①當(dāng)直線y=x+b與平移后的拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，
由

y=x2-2x-8 y=x+b.

得方程x²-2x-8=x+b，
即x²-3x-8-b=0，
∴△=41+4b=0，
∴b=-

41

4

；
當(dāng)直線y=x+b與平移前的拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，
由

y=x2-10x+16 y=x+b

得方程x²-10x+16=x+b，
即x²-11x+16-b=0，
∴△=121-4（16-b）=57+4b=0，
∴b=-

57

4

；
此時(shí)直線y=x-

57

4

和平移后的拋物線沒(méi)交點(diǎn)，故舍去．
②直線y=x+b過(guò)點(diǎn)（3，-5）時(shí)，b=-8．
綜上所述，當(dāng)直線y=x+b與（2）中的兩條拋物線有且只有三個(gè)交點(diǎn)時(shí)，b=-

41

4

或b=-8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)綜合題，熟知一元二次方程根的判別式及函數(shù)圖象平移的法則是解答此題的關(guān)鍵．