Question

【題目】如圖，已知拋物線y=﹣x2+2x經(jīng)過原點(diǎn)O，且與直線y=x﹣2交于B，C兩點(diǎn)．

（1）求拋物線的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)及點(diǎn)B，C的坐標(biāo)；
（2）求證：∠ABC=90°；
（3）在直線BC上方的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△PBC的面積最大？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（4）若點(diǎn)N為x軸上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)N作MN⊥x軸與拋物線交于點(diǎn)M，則是否存在以O(shè)，M，N為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，請求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵y=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1，

∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)A（1，1），

聯(lián)立拋物線與直線解析式可得 ，解得 或 ，

∴B（2，0），C（﹣1，﹣3）

（2）

解：證明：

由（1）可知B（2，0），C（﹣1，﹣3），A（1，1），

∴AB2=（1﹣2）2+12=2，BC2=（﹣1﹣2）2+（﹣3）2=18，AC2=（﹣1﹣1）2+（﹣3﹣1）2=20，

∴AC2=AB2+BC2，

∴△ABC是直角三角形，

∴∠ABC=90°

（3）

解：如圖，過點(diǎn)P作PG∥y軸，交直線BC于點(diǎn)G，

設(shè)P（t，﹣t2+2t），則G（t，t﹣2），

∵點(diǎn)P在直線BC上方，

∴PG=﹣t2+2t﹣（t﹣2）=﹣t2+t+2=﹣（t﹣ ）2+ ，

∴S△PBC=S△PGB+S△PGC= PG[2﹣（﹣1）]= PG=﹣ （t﹣ ）2+ ，

∵﹣ ＜0，

∴當(dāng)t= 時，S△PBC有最大值，此時P點(diǎn)坐標(biāo)為（ ， ），

即存在滿足條件的點(diǎn)P，其坐標(biāo)為（ ， ）

（4）

解：∵∠ABC=∠ONM=90°，

∴當(dāng)△OMN和△ABC相似時，有 或 ，

設(shè)N（m，0），

∵M(jìn)N⊥x軸，

∴M（m，﹣m2+2m），

∴MN=|﹣m2+2m|，ON=|m|，

② 當(dāng) 時，即 = ，解得m=5或m=﹣1或m=0（舍去）；

②當(dāng) = 時，即 = ，解得m= 或m= 或m=0（舍去）；

綜上可知存在滿足條件的N點(diǎn)，其坐標(biāo)為（5，0）或（﹣1，0）或（ ，0）或（ ，0）

【解析】（1）把拋物線解析式化為頂點(diǎn)式可求得A點(diǎn)坐標(biāo)，聯(lián)立拋物線與直線的解析式可求得B、C的坐標(biāo)；（2）由A、B、C的坐標(biāo)可求得AB2、BC2和AC2 ， 由勾股定理的逆定理可判定△ABC是直角三角形；（3）過點(diǎn)P作PG∥y軸，交直線BC于點(diǎn)G，設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，則可表示出G點(diǎn)坐標(biāo)，從而可表示出PG的長，則可表示出△PBC的面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值時P點(diǎn)坐標(biāo)；（4）設(shè)出M、N的坐標(biāo)，則可表示出MN和ON的長度，由相似三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于N點(diǎn)坐標(biāo)的方程可求得N點(diǎn)坐標(biāo)．