Question

15．將一副三角尺如圖擺放，其中在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，在Rt△EDF中，∠EDF=90°，∠E=45°．點D為邊AB的中點，DE交AC于點P，DF經(jīng)過點C，將△EDF繞點D順時針方向旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜60°）后得△E′DF′，DE′交AC于點M，DF′交BC于點N，那么$\frac{PM}{CN}$的值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 先根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得CD=AD=DB，則∠ACD=∠A=30°，∠BCD=∠B=60°，由于∠EDF=90°，可利用互余得∠CPD=60°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠PDM=∠CDN=α，于是可判斷△PDM∽△CDN，得到$\frac{PM}{CN}$=$\frac{PD}{CD}$，然后在Rt△PCD中利用正切的定義求解．

解答 解：∵點D為斜邊AB的中點，
∴CD=AD=DB，
∴∠ACD=∠A=30°，∠BCD=∠B=60°，
∵∠EDF=90°，
∴∠CPD=60°，
∴∠MPD=∠NCD，
∵△EDF繞點D順時針方向旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜60°），
∴∠PDM=∠CDN=α，
∴△PDM∽△CDN，
∴$\frac{PM}{CN}$=$\frac{PD}{CD}$，
在Rt△PCD中，∵tan∠PCD=tan30°=$\frac{PD}{CD}$，
∴$\frac{PM}{CN}$=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案是：$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．