Question

3．如圖，反比例函數(shù)y=$\frac{6}{x}$（x＞0）的圖象經(jīng)過矩形OABC對角線的交點M，分別與AB、BC相交于點D、E，則下列結論正確的是（1）、（2）、（4）（將正確的結論填在橫線上）．
①S_△OAD=S_△OCE；②$\frac{CE}{OA}$=$\frac{1}{4}$；③S_△OBE=6；④連接ED，則△BED∽△BCA．

Answer 1

分析 （1）利用反比例函數(shù)上的任意一點P到x軸，y軸的垂足分別為A、B，則S_△POA=S_△POB都是反比例函數(shù)的比例系數(shù)的一半．
（2）利用矩形的對角線的交點是線段的中點，以及已知兩端點的坐標確定出中點坐標，最后利用平行于x、y軸的直線上兩點的距離公式計算方法．
（3）利用平行于x、y軸的直線上兩點的距離公式表示出BE和OC即可．
（4）利用平行于x、y軸的直線上兩點的距離公式表示出BE、BC、BD、AB，從而判斷出這四條線段成比例即可．

解答 解：（1）反比例函數(shù)y=$\frac{6}{x}$的圖象經(jīng)過點D、E，則可設點D（a，$\frac{6}{a}$）、點E（b，$\frac{6}$）（a＞0，b＞0）；
∴點A（a，0），點B（a，$\frac{6}$），點C（0，$\frac{6}$），
∵四邊形OABC是矩形，
∴OA=a，AD=$\frac{6}{a}$，OC=$\frac{6}$，CE=b，
∴S_△OAD=$\frac{1}{2}$OA×AD=$\frac{1}{2}$a×$\frac{6}{a}$=3，
  S_△OCE=$\frac{1}{2}$OC×CE=$\frac{1}{2}$×$\frac{6}$×b=3
∴S_△OAD=S_△OCE，
故（1）正確．
（2）∵點M是矩形對角線的交點，且在反比例函數(shù)y=$\frac{6}{x}$圖象上，
∴點M是線段AC的中點，
∴M（$\frac{a}{2}$，$\frac{3}$）
∵點M在反比例函數(shù)y=$\frac{6}{x}$的圖象上，
∴$\frac{a}{2}×\frac{3}=6$，
∴$\frac{a}=4$，
∴$\frac{CE}{OA}=\frac{a}=\frac{1}{4}$，
故（2）正確．
（3）由（1）有點B（a，$\frac{6}$），點E（b，$\frac{6}$），OC=$\frac{6}$，
∴BE=a-b
∴S_△OBE=$\frac{1}{2}$BE×OC=$\frac{1}{2}$（a-b）×$\frac{6}$=3×$\frac{a}$-3=9，
故（3）錯誤．
（4）由（1）有點A（a，0），點B（a，$\frac{6}$），點D（a，$\frac{6}{a}$），點C（0，$\frac{6}$），點E（b，$\frac{6}$），
∴AB=$\frac{6}$，BD=$\frac{6}-\frac{6}{a}$，BC=a，BE=a-b，
∴BD：AB=（$\frac{6}-\frac{6}{a}$）：$\frac{6}$=（a-b）：a，
BE：BC=（a-b）：a，
∴BD：AB=BE：BC，
∵∠ABC=∠DBE（公共角）
∴△BED∽△BCA（兩邊答應成比例，夾角相等，兩三角形相似），
故（4）正確．
故答案為（1），（2），（4）．

點評 本題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了平面坐標系中平行于x（或y）軸的直線上兩點的距離是橫（或縱）坐標的差的絕對值，得到AB=$\frac{6}$，BD=$\frac{6}-\frac{6}{a}$，BC=a，BE=a-b求出BD：AB，BE：BC從而得出BD：AB=BE：BC，線段的中點坐標的確定．此題涉及到的知識點有：矩形的性質，線段的中點坐標的計算方法，兩點之間的距離的計算相似三角形的判斷，三角形面積的計算；解答本題的關鍵是利用同一個反比例函數(shù)的比例系數(shù)是定值，此題難點為三角形面積的計算方法．