Question

在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，E是AB中點(diǎn)，CE交AF于M．
（1）如圖1，當(dāng)CF=BF時(shí)，求S_{四邊形AMCD}；
（2）如圖2，當(dāng)CF=2BF時(shí)，

CM

EM

=

 

；

AM

FM

=

 

．（直接寫(xiě)出結(jié)果）

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）連接MB，由于E、F都是正方形ABCD的邊的中點(diǎn)，S△ABF=S△EBC，所以S△AEM、S△ENB、S△MBF、S△MFC四個(gè)三角形的面積相等；然后計(jì)算出四個(gè)三角形的面積，用正方形ABCD的面積-四個(gè)三角形的面積=S_{四邊形AMCD}；
（2）過(guò)F做AB平行線交CE與點(diǎn)O； OF：BE=OF：AE=2：3=OM：EM=FM：AM，則EM：OM=3：2，又有OE：OC=1：2=BF：CF，所以CM：EM=12：3=4：1．

解答：解：（1）連接MB，
由于E、F都是正方形ABCD的邊的中點(diǎn)，S_△ABF=S_△EBC，所以△AEM、△ENB、△MBF、△MFC四個(gè)三角形的面積相等；
S_△ABF=S_△EBC=1×

1

2

÷2=

1

4

，
那么四個(gè)三角形的面積和是：

1

4

×

4

3

=

1

3

；
所以S_{四邊形AMCD}=1×1-

1

3

=

2

3

；

（2）過(guò)F做AB平行線交CE與點(diǎn)O；
OF：BE=OF：AE=CF：（CF+FB）=2：（2+1）=2：3=OM：EM=FM：AM，
可得：

AM

FM

=

3

2

；
同理，EM：OM=3：2，OM=2份，EM=3份；
又因?yàn)镺E：OC=BF：CF=1：2，可得CM=OM+OC=2份+2×OE=2份+2（2+3）份=12份；
所以CM：EM=12：3=4：1=4．
故答案為：4，

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查正方形的性質(zhì)，平行線分線段成比例等知識(shí)，這兩道題題關(guān)鍵的是作出合理的輔助線，特別是第二題利用比例中的份數(shù)關(guān)系表示出所求線段的長(zhǎng)度，進(jìn)而求出長(zhǎng)度比．