Question

1．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=$\frac{1}{2}$x²-x-2的頂點(diǎn)為點(diǎn)D，與直線y=kx在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)A，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為4；直線OA與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)C．
（1）求△AOD的面積；
（2）若點(diǎn)F為線段OA上一點(diǎn)，過點(diǎn)F作EF∥CD交拋物線于點(diǎn)E，求線段EF的最大值及此時(shí)點(diǎn)E坐標(biāo)；
（3）如圖2，點(diǎn)P為該拋物線在第四象限部分上一點(diǎn)，且∠POA=45°，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）在圖1中求出的A、D坐標(biāo)，利用S_△AOD=S_梯形AHMD-S_△AOH-S_△DOH即可求解．
（2）直線OA的解析式為y=$\frac{1}{2}$x，EF∥y軸，可以假設(shè)E（m，$\frac{1}{2}$m²-m-2），F(xiàn)（m，$\frac{1}{2}$m），根據(jù)EF=$\frac{1}{2}$m-（$\frac{1}{2}$m²-m-2）=-$\frac{1}{2}$（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{25}{8}$即可解決．
（3）在圖2中，構(gòu)造△AEO≌△HMA，只要證明△OAH是等腰直角三角形，求出點(diǎn)H坐標(biāo)，再求出直線OH與拋物線的交點(diǎn)P即可．

解答 解：（1）如圖1中，作AH⊥y軸DM⊥y軸垂足分別為H、M．
∵y=$\frac{1}{2}$x²-x-2=$\frac{1}{2}$（x-1）²-$\frac{5}{2}$，
∴頂點(diǎn)D坐標(biāo)（1，-$\frac{5}{2}$），
∴點(diǎn)A橫坐標(biāo)為4，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，2），
∴S_△AOD=S_梯形AHMD-S_△AOH-S_△DOH=$\frac{1+4}{2}$×$\frac{9}{2}$-$\frac{1}{2}$×1×$\frac{5}{2}$-$\frac{1}{2}$×2×4=6．
（2）∵直線OA的解析式為y=$\frac{1}{2}$x，EF∥y軸，
∴可以假設(shè)E（m，$\frac{1}{2}$m²-m-2），F(xiàn)（m，$\frac{1}{2}$m），
∴EF=$\frac{1}{2}$m-（$\frac{1}{2}$m²-m-2）=-$\frac{1}{2}$（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{25}{8}$，
∴當(dāng)m=$\frac{3}{2}$時(shí)，EF有最大值=$\frac{25}{8}$，此時(shí)的E坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，-$\frac{19}{8}$）．
（3）如圖2中，作AE⊥y軸垂足為H，延長EA到M使得AM=EO，過點(diǎn)M作MH⊥EM，過點(diǎn)A作AO的垂線交MH于H．
∵∠AEO=∠OAH=∠AMH=90°，∠EOA+∠EAO=90°，∠EAO+∠MAH=90°，
∴∠EOA=∠MAH，
在△AEO和△HMA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EOA=∠MAH}\\{OE=AM}\\{∠AEO=∠AMH}\end{array}\right.$，
∴△AEO≌△HMA，
∴OA=AH，AE=HM=4，
∵∠OAH=90°，
∴∠AOH=∠AHO=45°，
∴點(diǎn)H坐標(biāo)為（6，-2），
設(shè)直線OH為y=kx，點(diǎn)H坐標(biāo)代入得到k=-$\frac{1}{3}$，
∴直線OH為y=-$\frac{1}{3}$x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{3}x}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-x-2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2+2\sqrt{10}}{3}}\\{y=-\frac{2+2\sqrt{10}}{9}}\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2-2\sqrt{10}}{3}}\\{y=-\frac{2-2\sqrt{10}}{9}}\end{array}\right.$，
∵點(diǎn)P在第四象限，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（$\frac{2+2\sqrt{10}}{3}$，-$\frac{2+2\sqrt{10}}{9}$）．

點(diǎn)評 本題考查二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)、一次函數(shù)的性質(zhì)、坐標(biāo)系中三角形面積的計(jì)算，第三個(gè)問題巧妙構(gòu)造全等三角形，解決45度角問題，屬于中考壓軸題．