Question

在等邊△ABC中，點E在AB上，點D在CB的延長線上，且ED=EC．
（1）若點E是AB的中點，如圖1，求證：AE=DB．
（2）若點E不是AB的中點時，如圖2，試確定線段AE與DB的大小關系，并寫出證明過程．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,等邊三角形的性質

專題：

分析：（1）由等邊三角形的性質得出AE=BE，∠BCE=30°，再根據ED=EC，得出∠D=∠BCE=30°，再證出∠D=∠DEB，得出DB=BE，從而證出AE=DB；
（2）作輔助線得出等邊三角形AEF，得出AE=EF，再證明三角形全等，得出DB=EF，證出AE=DB．

解答：（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵點E是AB的中點，
∴CE平分∠ACB，AE=BE，
∴∠BCE=30°，
∵ED=EC，
∴∠D=∠BCE=30°．
∵∠ABC=∠D+∠BED，
∴∠BED=30°，
∴∠D=∠BED，
∴BD=BE．
∴AE=DB．

（2）解：AE=DB；
理由：過點E作EF∥BC交AC于點F．如圖所示：
∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB．
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC，
∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，
即∠AEF=∠AFE=∠A=60°，
∴△AEF是等邊三角形．
∴∠DBE=∠EFC=120°，∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°，
∵DE=EC，
∴∠D=∠ECD，
∴∠BED=∠ECF．
在△DEB和△ECF中，

∠DEB=∠ECF   ∠DBE=∠EFC   DE=EC

，
∴△DEB≌△ECF（AAS），
∴DB=EF，
∴AE=BD．

點評：本題考查了等邊三角形的性質與判定以及全等三角形的判定與性質；證明三角形全等是解決問題的關鍵．