Question

【題目】如圖在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，點(diǎn)E、F分別在邊AB、AC上，將△AEF沿直線EF折疊，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D恰好落在邊BC上．若△BDE是直角三角形，則CF的長(zhǎng)為______．

Answer 1

【答案】或

【解析】

分兩種情況：①∠BED=90°，過點(diǎn)F作FM⊥AE，根據(jù)折疊性質(zhì)可知∠AEF=∠DEF=45°，設(shè)FC=a，則AF=3-a，在Rt△AMF中用a表示出AE，從而得到BE=5-AE，在Rt△BED中，根據(jù)三角函數(shù)用a表示BE，則構(gòu)造出關(guān)于a的方程；②∠BDE=90°，證明∠A=∠DFC，根據(jù)三角函數(shù)找到FC和DF關(guān)系即可．

解：①當(dāng)∠BED=90°時(shí)，過點(diǎn)F作FM⊥AE，

根據(jù)折疊性質(zhì)可知∠AEF=∠DEF=45°，

設(shè)FC=a，則AF=3-a，在Rt△AMF中，

sinA=，∴MF==ME．

cosA=，∴AM=．

∴AE=AM+MF==DE．

則BE=AB-AE=5-．

在Rt△BED中，tanB=，∴BE=．

∴5-=，解得a=；

②當(dāng)∠EDB=90°時(shí)，

根據(jù)折疊性質(zhì)可知AF=FD，∠A=∠EDF，

∵ED∥AC，∴∠EDF=∠DFC．

∴∠A=∠DFC．

∴cosA=cos∠DFC=，設(shè)FC=x，則AF=3-x=DF，

∴，解得x=．

綜上所述CF長(zhǎng)為或．