Question

如圖，已知拋物線y=x²-（b+1）x+（b是實數(shù)且b＞2）與x軸的正半軸分別交于點A、B（點A位于點B的左側(cè)），與y軸的正半軸交于點C．若在第一象限內(nèi)存在點P，使得四邊形PCOB的面積等于，且△PBC是以點P為直角頂點的等腰直角三角形．求：
（1）點A的坐標(biāo)為______．
（2）求符合要求的點P坐標(biāo)為______．

Answer 1

解：（1）對于y=x²-（b+1）x+，
令y=0，得到x²-（b+1）x+=0，即x²-（b+1）x+b=0，
分解因式得：（x-1）（x-b）=0，
解得：x=1或x=b，
∵A在B的左邊，
∴A（1，0），B（b，0）；
（2）過P作PE⊥x軸，過C作CD⊥PE，
對于y=x²-（b+1）x+，
令x=0，得到y(tǒng)=，即OC=，
∵△BCP為等腰直角三角形，
∴PC=PB，∠CPB=90°，
∴∠CPD+∠BPE=90°，
∵∠CPD+∠PCD=90°，
∴∠BPE=∠PCD，
在△CDP和△PEB中，
，
∴△CDP≌△PEB（AAS），
∴CD=PE，
設(shè)P（x，x），則有CD=PE=x，
∵S_{四邊形OCPB}=S_梯形OCPE+S_△PEB=x（+x）+x（b-x）=7b，
整理得：7x=84，
解得：x=12，
則P（12，12）．
故答案為：（1）A（1，0）；（2）P（12，12）
分析：（1）對于拋物線解析式，令y=0得到關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，根據(jù)A與B的位置關(guān)系即可確定出A的坐標(biāo)；
（2）過P作PE垂直于x軸，過C作CD垂直于PE，利用AAS得出三角形PCD與三角形PBE全等，由全等三角形的對應(yīng)邊相等得到PE=CD，設(shè)P（x，x），即PE=CD=x，如圖所示，四邊形PCOB的面積=梯形OCPE的面積+直角三角形BPE的面積，令拋物線解析式中x為0表示出y，求出OC的長，利用梯形及三角形面積公式列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可確定出P的坐標(biāo)．
點評：此題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，以及梯形、三角形面積求法，根據(jù)題意得出CD=PE是解本題第二問的關(guān)鍵．