Question

如圖，P是⊙O的直徑AB延長線上的一點，PC切⊙O于點C，弦CD⊥AB，垂足為點E，若PC=

3

，PB=1．求：
（1）⊙O的半徑；
（2）CD的長；
（3）圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析：（1）首先連接OC，由PC切⊙O于點C，可得OC⊥PC，然后設⊙O的半徑為x，由勾股定理可得方程：x²+（

3

）²=（x+1）²，解此方程即可求得答案；
（2）由弦CD⊥AB，根據(jù)垂徑定理的即可求得CD的長；
（3）由sin∠POC=

3

2

，可得∠POC=60°，則可由S_陰影=S_Rt△POC-S_扇形BOC求得答案．

解答：解：（1）連接OC，
∵PC切⊙O于點C，
∴OC⊥PC，
設⊙O的半徑為x，
∵PC=

3

，PB=1，
則OP=x+1，
在Rt△POC中，OC²+PC²=OP²，
∴x²+（

3

）²=（x+1）²，
解得：x=1，
即⊙O的半徑為1；

（2）∵弦CD⊥AB，
∴CE=

1

2

CD，
∵在Rt△POC中，sin∠POC=

PC

OP

=

3

2

，
∴在Rt△OCE中，CE=OC•sin∠COE=

3

2

，
∴CD=2CE=

3

；

（3）∵sin∠POC=

3

2

，
∴∠POC=60°，
∴S_陰影=S_Rt△POC-S_扇形BOC=

1

2

PC•OC-

60×π×12

360

=

3

2

-

π

6

．

點評：此題考查了切線的性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理以及特殊角的三角函數(shù)問題．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應用．