Question

12．如圖，△ABC、△EFG均是邊長為2的等邊三角形，點D是邊BC、EF的中點，直線AG、FC相交于點M．當△EFG繞點D旋轉時，線段BM長的最大值是$\sqrt{3}$+1．

Answer 1

分析 取AC的中點O，連接AD、DG、BO、OM，如圖，易證△DAG∽△DCF，則有∠DAG=∠DCF，從而可得A、D、C、M四點共圓，根據兩點之間線段最短可得BO≤BM+OM，即BM≥BO-OM，當M在線段BO與該圓的交點處時，線段BM最長，只需求出BO、OM的值，就可解決問題．

解答 解：AC的中點O，連接AD、DG、BO、OM，如圖．

∵△ABC，△EFG均是邊長為2的等邊三角形，點D是邊BC、EF的中點，
∴AD⊥BC，GD⊥EF，DA=DG，DC=DF，
∴∠ADG=90°-∠CDG=∠FDC，$\frac{DA}{DC}$=$\frac{DG}{DF}$，
∴△DAG∽△DCF，
∴∠DAG=∠DCF．
∴A、D、C、M四點共圓．
根據兩點之間線段最短可得：BO+OM≥BM，
當M在線段BO延長線與該圓的交點處時，線段BM最長，
此時，BO=$\sqrt{B{C}^{2}-B{O}^{2}}$=$\sqrt{3}$，OM=$\frac{1}{2}$AC=1，
則BM=BO+OM=$\sqrt{3}$+1．
故答案是：$\sqrt{3}$+1．

點評 本題主要考查了旋轉的性質，等邊三角形的性質、等腰三角形的性質、相似三角形的判定與性質、四點共圓的判定、勾股定理、兩點之間線段最短等知識，求出動點M的運動軌跡是解決本題的關鍵．