Question

12．如圖，△ABC、△EFG均是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，點(diǎn)D是邊BC、EF的中點(diǎn)，直線AG、FC相交于點(diǎn)M．當(dāng)△EFG繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)時(shí)，線段BM長(zhǎng)的最大值是$\sqrt{3}$+1．

Answer 1

分析 取AC的中點(diǎn)O，連接AD、DG、BO、OM，如圖，易證△DAG∽△DCF，則有∠DAG=∠DCF，從而可得A、D、C、M四點(diǎn)共圓，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得BO≤BM+OM，即BM≥BO-OM，當(dāng)M在線段BO與該圓的交點(diǎn)處時(shí)，線段BM最長(zhǎng)，只需求出BO、OM的值，就可解決問題．

解答 解：AC的中點(diǎn)O，連接AD、DG、BO、OM，如圖．

∵△ABC，△EFG均是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，點(diǎn)D是邊BC、EF的中點(diǎn)，
∴AD⊥BC，GD⊥EF，DA=DG，DC=DF，
∴∠ADG=90°-∠CDG=∠FDC，$\frac{DA}{DC}$=$\frac{DG}{DF}$，
∴△DAG∽△DCF，
∴∠DAG=∠DCF．
∴A、D、C、M四點(diǎn)共圓．
根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得：BO+OM≥BM，
當(dāng)M在線段BO延長(zhǎng)線與該圓的交點(diǎn)處時(shí)，線段BM最長(zhǎng)，
此時(shí)，BO=$\sqrt{B{C}^{2}-B{O}^{2}}$=$\sqrt{3}$，OM=$\frac{1}{2}$AC=1，
則BM=BO+OM=$\sqrt{3}$+1．
故答案是：$\sqrt{3}$+1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、四點(diǎn)共圓的判定、勾股定理、兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)，求出動(dòng)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡是解決本題的關(guān)鍵．